【測度論】σ（シグマ）加法族と有限加法族とは【測度・ルベーグ積分】

はじめに
σ加法族と有限加法族
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はじめに

ここでは測度論、特にσ加法族と有限加法族の確認をします。
何回かにわけて詳しくやっていくつもりなので、続きの記事もよかったら。
※今回の内容は、ルベーグ積分の本を見ればすぐにわかりますのでそちらで各自やってもOKです。
おすすめ参考書はこのサイト上部にあるパネルからどうぞ。

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σ加法族と有限加法族

基本ですが後で何度も使うので覚えておきましょう。

$X$ を集合、 $2^X$ を $X$ の部分集合全体とする。
このとき、 $\mathscr{A}\subset 2^{X}$ に対し、
$\left( 1\right) \phi \in \mathscr{A}$ ( $\phi$ を含む)
$\left( 2\right) A\in \mathscr{A}\Rightarrow A^{c}\in \mathscr{A}$ (補集合で閉じる)
$\displaystyle\left( 3\right) A_{n}\in \mathscr{A}( n= 1,2,\ldots ) \Rightarrow \bigcup _{n\geq 1}A_{n}\in \mathscr{A}$ (可算和で閉じる)

$\left( 1\right) \sim \left( 3\right)$ を満たす $\mathscr{A}$ をσ加法族という。

$\left( 4\right) A_{1},A_{2}\in \mathscr{A}\Rightarrow A_{1}\cup A_{2}\in \mathscr{A}$ (有限和で閉じる)

$\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 4\right)$ を満たす $\mathscr{A}$ を有限加法族という。

以上、σ加法族と有限加法族でした。
問にもよりますが $\left( 3\right) ,\left( 4\right)$ を示すのが大変だったりします。
補集合については面白い問がありましたので、また記事にします。
興味のある方は数学記事まとめから記事を探してみてください。（この頁の一番下にリンクあり）

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