【測度論】σ加法族と共通部分（可算交差）の問を解く【測度・ルベーグ積分】

はじめに
σ加法族の性質
- 問：可算交差
- 解：
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はじめに

ここでは測度論、特にσ加法族の確認で、前回の復習として問を解いてみます。
※何回かに分けて詳しくやっていくつもりなので、続きの記事もよかったら。
おすすめ参考書はこのサイト上部にあるパネルからどうぞ。
★前回の記事の続きです⇩
dodgson.hatenablog.com

≫数学記事まとめはこちら

σ加法族の性質

詳しくは前回の記事にありますが、
空集合を含む、補集合で閉じる、可算和で閉じる、でした。
この可算和では和集合の形ですが、これは共通部分でも同じようにいえて、結構簡単に示せれるんですね。
検索向きに共通部分としましたが、詳しくは『可算交差』で閉じる、というもの。
今回は、これを問とし、示していきます。

問：可算交差

σ加法族において、 $A_{n}\in \mathscr{A}$ ならば、 $\displaystyle\bigcap ^{\infty }_{n=1}A_{n}\in \mathscr{A}$ を示せ。

解：

補集合で閉じるので、 $A^{c}_{n}\in \mathscr{A}$
なので、 $\displaystyle\bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}^{c}\in \mathscr{A}$ （可算和で閉じる）
もう一度、補集合で閉じることを使い、
$\displaystyle\bigcap ^{\infty }_{n=1}A_{n}=\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}^{c}\right) ^{c}\in \mathscr{A}$