Darboux(ダルブー)の上積分と下積分（リーマン可積分）

はじめに
Darboux(ダルブー)の上積分と下積分
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はじめに

ここではルベーグ積分に入る前の話で『Darboux(ダルブー)の上積分と下積分』についてやります。

Darboux(ダルブー)の上積分と下積分

上積分、下積分とはなんぞやという話から始めます。
そのために準備（定義）していきます。

まず、 $I=［ u_{1},b_{1}］ \times \ldots \times ［ a_{d},b_{d}］$ を $\mathbb{R} ^{d}$ の有界区間とし、
その長さを $\left| I\right|$ とする。
（※メモ※この『長さ』は体積とも。）
例えば、 $\left| I_{1}\right|$ は、 $|b_{1}-a_{1}|$ である。
これら区間を重ならないように分割したものを $\Delta$ とし、 $I$ 上の関数 $f$ に対して、

$\displaystyle\overline{f}_{j}=\sup _{x\in I_{j}}f\left( x\right)$
$\displaystyle\underline{{f}_{j}}=\inf _{x\in Ij}f\left( x\right)$
とおく。

このとき、
過剰和は、 $\displaystyle\overline{s}\left( f,\Delta \right) =\sum ^{k}_{j=1}\overline{f}_{j}\left| I_{j}\right|$
不足和は、 $\displaystyle\underline{s}\left( f,\Delta \right) =\sum ^{k}_{j=1}\underline{{f}_{j}}\left| I_{j}\right|$
となる。

過剰和は、（図だと手描きなので汚いが）
f:id:Dodgson:20211231172059p:plain
このように考えればよい。
この分割 $\Delta$ を細分していき、 $\displaystyle\inf _{\Delta }\overline{s}\left( f,\Delta \right)$ を上積分と言い、
$\displaystyle\overline{\int} _{I}fdx$ とかく。

不足和は、（図だと手描きなので汚いが）
f:id:Dodgson:20211231172840p:plain
このように考えればよい。
同じくこの分割 $\Delta$ を細分していき、 $\displaystyle\sup _{\Delta }\underline{s}\left( \Delta ,f\right)$ を下積分と言い、
$\displaystyle\underline{{\int} _{I}}fdx$ とかく。