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【関数解析】ノルム空間Xにおいてコンパクトならば完備であること

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ここでは『ノルム空間Xにおいてコンパクトならば完備である』ことの解説、証明をします。
関数解析としていますが、解析・位相として見てくれても問題ないです。

証明の流れ

いきなり証明に入っても分からないかもしれないので、順に確認しながら見ていきましょう。

ノルム空間ならば?

ノルム空間ならば、距離空間の話になるので、コンパクトと点列コンパクトが同値になります。
これに関しては覚えておいてもよいでしょう。
ボルツァーノワイエルシュトラスの定理を見ておくとより理解できるはずです。

点列コンパクトならば?

点列コンパクトならば、任意の点列が収束する部分列を含むことがいえます。
これを使って証明をします。

完備であるのは

簡単に言うと、完備であるのは、任意のコーシー列が収束することです。

証明

上の確認のもと、証明を進めていきます。

まず、Xの任意のコーシー列\{f_n\}を用意します。

ノルム空間Xがコンパクト、すなわち点列コンパクトなので、
任意の点列が収束する部分列をもつため、\left\{ f_{n}\right\}の中のこれ(部分列)を\{f_{n_{k}}\}としましょう。
また、上はfに収束するものとします。(実際の証明では、ここはしっかりと書くようにしましょう)

なので、
任意のkに対し、
\left\| f_{k}-f\right\| \leq \left\| f_{k}-f_{n_{k}}\right\| +\left\| f_{n_{k}}-f\right\|
となることがわかります。

右辺はコーシー列であることと、収束する部分列をもつことを使い、それぞれ\dfrac{\varepsilon }{2}に対するものだとします。
すると、その和が\varepsilonとなるので、
\left\| f_{k}-f\right\| <\varepsilonが言えます。

よって、\left\{ f_{n}\right\}が収束する(コーシー列が収束する)といえたので、完備であるわけです。

証明終了。

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