有界と絶対収束ならば絶対収束する（証明付き）

はじめに
有界と絶対収束
証明
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はじめに

ここでは有界と絶対収束ならば絶対収束することの証明をします。
詳しくはこの下で。
※前回の続きです。そちらからどうぞ⇩
dodgson.hatenablog.com
※2022/12/02更新、変更なし。

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有界と絶対収束

$a_{n}$ が有界な数列で $\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}b_{n}$ が絶対収束するとき、
$\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}a_{n}b_{n}$ は絶対収束する。
これを証明します。

有名な問なので、ここはテンプレ通りにやっていきます。
なので収束定理を使います。
先に定理を確認しときます。
★
数列で $\left| a_{n}\right| \leq b_{n}$ を満たすなら
$\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}b_{n}$ が収束すれば $\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}a_{n}$ も収束する。
というもの。

証明

$a_{n}$ が有界な数列なので、
$\exists M ＞0$ $\forall n\in \mathbb{N}$ $（ \left| a_{n}\right| \leq M）$ が成立する。
よって、 $\left| a_{n}b_{n}\right| \leq M\left| b_{n}\right|$

$\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}M\left| b_{n}\right|$ が収束するので上の定理より
$\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}a_{n}b_{n}$ は絶対収束する。

これでOK

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