【簡単】絶対収束とコーシー列（収束することの証明）

はじめに
絶対収束とは
証明
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おわりに＆おすすめ

はじめに

ここでは絶対収束するなら収束することの証明をコーシー列版で証明します。

絶対収束とは

$\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}\left| a_{n}\right|$ が収束するならば、 $\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}a_{n}$ は絶対収束する。
というものです。
ついでに、絶対収束は英語ではabsolutely converge という。

証明

$m＞n$ のとき、
$\displaystyle S_{n}=\sum ^{n}_{k=1}a_{k}$ とすると、
$\displaystyle\begin{aligned}\left| S_{m}-S_{n}\right| &=\left| \sum ^{m}_{k=n+1}a_{k}\right| &\\ &\leq \sum ^{m}_{k=n+1}\left| a_{k}\right| &\\ &=\sum ^{m}_{k=1}\left| a_{k}\right| -\sum ^{n}_{k=1}\left| a_{k}\right| &\end{aligned}$

$n\rightarrow \infty$ として、 $0$ となるので、
$S_{n}$ はコーシー列となり、収束する。
気になるなら、初めに任意に $\varepsilon ＞0$ を取って最後に $0$ にもっていってもよい。

別の証明として
$\left| a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots +a_{n}\right| \leq \left| a_{m+1}\right| +\ldots +\left| a_{n}\right|$
より、コーシーの収束条件を満たすので、というやり方もある。

おわり。絶対収束の話は続く。
次は有界と絶対収束の話。
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