【ε-δ論法】これで解決！極限の一意性の証明（複素関数版）

はじめに

この記事では極限の一意性を確認、練習(証明)します。

複素関数のおすすめ記事です↓ 見てね！！

dodgson.hatenablog.com

証明する前に

※数列版、極限の一意性は別記事で証明しています。

以下のリンクからどうぞ。

dodgson.hatenablog.com

さてここからは本題のε-δ論法で証明していきます。

複素関数でやってますが、状況に応じて実数 $\mathbb{R}$ におきかえてもらっていいです。

ε-δ論法で極限の一意性の証明をしよう

極限が2つ存在するとし、 $w\neq w'$ とする。すなわち、

$\displaystyle\lim _{z \rightarrow z^{\prime}} f(z)=w, \lim _{z \rightarrow z^{\prime}} f(z)=w^{\prime}$

であるとする。

このとき、任意の $\varepsilon{＞}0$ に対し、

$\delta_{1}, \delta_{2}{＞}0$ が存在して、

$\begin{array}{l} 0{＜}\left|z-z^{\prime}\right|{＜}\delta_{1} \Rightarrow|f(z)-w|{＜}\varepsilon_{1} \\ 0{＜}\left|z-z^{\prime}\right|{＜}\delta_{2} \Rightarrow\left|f(z)-w^{\prime}\right|{＜}\varepsilon_{1} \end{array}$

である。

ここで、 $\delta=\min \left(\delta_{1}, \delta_{2}\right)$ とおき、

$\varepsilon_{1}=\frac{\left|w-w^{\prime}\right|}{2}{＞0}$ とすると $( \because w\neq w')$ 、

$\begin{aligned} 次のとおり。0{＜}\left|z-z^{\prime}\right|{＜}\delta \Rightarrow\left|w-w^{\prime}\right| &=\left|(f(z)-w)-\left(f(z)-w^{\prime}\right)\right| \\ &\leq|f(z)-w|+\left|f(z)-w^{\prime}\right| \\ &{＜}2 \varepsilon_{1} \\ &=\left|w-w^{\prime}\right| \end{aligned}$

$\left|w-w^{\prime}\right|<\left|w-w^{\prime}\right|$ となって矛盾。

よって $w=w^{\prime}$ で、極限はただ一つである。

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まとめ

参考にした本では、 $ε$ を $kε$ として別の方法（矛盾を使わない）で証明していた。
ただ、個人的には矛盾を使うのが何かと楽に感じる。
これについてどうするかは人それぞれ。

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