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【初級】例題で学ぶロピタルの定理~(1/x)^xの極限(高校,大学)~

はじめに

この記事ではロピタルの定理を例題を使って解説します。

前回の記事の続きなので、そちらから見ることをお勧めします。

 

前回↓

dodgson.hatenablog.com

 

【初級】例題で学ぶロピタルの定理・続(高校,大学)

\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \dfrac{1}{x}\right) ^{x}を求める。

u=\left( \dfrac{1}{x}\right) ^{x}とおく。

\log u=-x\log xであり、

\dfrac{1}{x}=yとおけば、

x\rightarrow +0のとき、y\rightarrow \inftyで、

\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( -x\log x\right) =\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac{\log y}{y}=0…①

 であるので(※最後、ロピタルの定理を使用)、

u\rightarrow e^{0}=1

従って、\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \dfrac{1}{x}\right) ^{x}=1

 

ここで、①にて、

\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( -x\log x\right) =\lim _{x\rightarrow +0}\dfrac{\log x}{-\dfrac{1}{x}}=\lim _{x\rightarrow 0}x=0

 としてもよい。これもロピタルの定理を使用。

まとめ

簡単な問題、(1/x)^xの極限でしたが、どうでしょうか。

対数を取って考えるのはいつも通りですね。

高校生で使う機会はあまりないでしょうが、大学数学なら微積でよく使うことになるでしょう。

この問は初級なので、もう少し難易度を上げたもので練習して慣らしていきましょう。

次の問はこの記事の一番下にリンクがありますので、スクロールして次に進んでください。

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