【初級】例題で学ぶロピタルの定理～(1/x)^xの極限（高校,大学）～

はじめに

この記事ではロピタルの定理を例題を使って解説します。

前回の記事の続きなので、そちらから見ることをお勧めします。

前回↓

dodgson.hatenablog.com

【初級】例題で学ぶロピタルの定理・続（高校,大学）

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \dfrac{1}{x}\right) ^{x}$ を求める。

$u=\left( \dfrac{1}{x}\right) ^{x}$ とおく。

$\log u=-x\log x$ であり、

$\dfrac{1}{x}=y$ とおけば、

$x\rightarrow +0$ のとき、 $y\rightarrow \infty$ で、

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( -x\log x\right) =\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac{\log y}{y}=0$ …①

であるので（※最後、ロピタルの定理を使用）、

$u\rightarrow e^{0}=1$

従って、 $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \dfrac{1}{x}\right) ^{x}=1$

ここで、①にて、

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( -x\log x\right) =\lim _{x\rightarrow +0}\dfrac{\log x}{-\dfrac{1}{x}}=\lim _{x\rightarrow 0}x=0$

としてもよい。これもロピタルの定理を使用。

まとめ

簡単な問題、(1/x)^xの極限でしたが、どうでしょうか。

対数を取って考えるのはいつも通りですね。

高校生で使う機会はあまりないでしょうが、大学数学なら微積でよく使うことになるでしょう。

この問は初級なので、もう少し難易度を上げたもので練習して慣らしていきましょう。

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