コーシー列と収束の関係＆バナッハ空間

ここではコーシー列と収束の関係とバナッハ空間について確認します。
バナッハ空間を知らない場合は予習ということで。

コーシー列って？
知っておくべき事実
バナッハ空間って？
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おわりに＆おすすめ

コーシー列って？

$\left\| x_{n}-x_{m}\right\| <\varepsilon$ となるものですが、
しっかり書くと、

$\begin{aligned}\forall \varepsilon >0\exists N\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N} \forall n,m\in \mathbb{N} \left\lbrack m >n\geq N\left( \varepsilon \right) \Rightarrow \left| x_{m}-x_{n}\right| <\varepsilon \right\rbrack \end{aligned}$

です。

知っておくべき事実

収束するならコーシー列です。
逆は一般に成立しません。

がしかし、成立する場合もあります。
例えば、 $x_{n}$ をノルム空間としたときコーシー列であれば、そのノルムの列は収束します。
$\begin{aligned}\left| \left\| x_{m}\right\| -\left\| x_{n}\right\| \right| &=\left| \left\| x_{m}-x_{n}+x_{n}\right\| -\left\| x_{n}\right\| \right| &\\&\leq \left\| x_{m}-x_{n}\right\| <\varepsilon& \end{aligned}$

この例外が重要となってきます。

バナッハ空間って？

完備なノルム空間はバナッハ空間です。

もっというと、コーシー列が収束すること。
それは上から確かめることができますね。

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