【複素関数】留数定理と問題練習#01bやや難

ここでは、留数定理を使って問題練習をします。
動画での解説もしますので、よければそちらも見てください。

前回→【複素関数】留数定理と問題練習#02 - ドジソンの本棚

問題
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解き方
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問題

下の問題を解いてみましょう。
$\displaystyle \int _{0}^{\infty }\dfrac{dx}{1+x^{4}}$

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解き方

$\displaystyle\int _{0}^{\infty }\dfrac{dx}{1+x^{4}}=\dfrac{1}{2}\int _{-\infty }^{\infty }\dfrac{dx}{1+x^{4}}$
として考えます。･･･①

$f\left( z\right) =\dfrac{1}{1+z^{4}}$
とすると、
上半平面で $z=e^{\frac{\pi }{4}i},e^{\frac{3}{4}\pi i}$ で1位の極を持ち、

と留数が求まります。

また、少々雑な書き方ですが $C_{R}$ における積分で
$\displaystyle\left| \int _{C_{R}}\dfrac{dz}{1+z^{4}}\right| \rightarrow 0\left( R\rightarrow \infty \right)$
となります。なので、最後の計算では無視できます･･･②
※気になる方はしっかり書くようにしましょう。

①,②に注意をして、留数定理を使うと、

$\begin{aligned}\int ^{\infty }_{0}\dfrac{dx}{1+x^{4}}&=\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi i\cdot \left( \dfrac{-1-i}{4\sqrt{2}}+\dfrac{1-i}{4\sqrt{2}}\right) &\\ &= \dfrac{\pi }{2\sqrt{2}}&\end{aligned}$