sinxは一様連続かどうかの確認＆証明（＋リプシッツ連続）

ここでは、sinxは一様連続かどうかの確認とその証明をします。
動画での解説もしますので、よければそちらも見てください。

問題
動画解説（YouTube）
一様連続かどうか
リプシッツ連続⇒一様連続について
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おわりに＆おすすめ

問題

$\sin x$ は一様連続かどうか確かめよう

動画解説（YouTube）

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一様連続かどうか

下のようにして確かめることができます。
※スマホの方：数式は横にスライドして見ることができます。

$\begin{aligned}\left| \sin x_{1}-\sin x_{2}\right| &=2\left| \cos \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2}\right| &\\& \leq 2\left| \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2}\right|& \\& \leq \left| x_{1}-x_{2}\right|& \end{aligned}$

･･･①

ここで、任意の $\varepsilon >0$ に対して、 $\delta =\varepsilon$ であるようにとると、①より、

$\begin{aligned}\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\lbrack \left| x_{1}-x_{2}\right| <\delta \Rightarrow \left| \sin x_{1}-\sin x_{2}\right| <\delta =\varepsilon \rbrack \end{aligned}$

よって、一様連続だとわかります。

リプシッツ連続⇒一様連続について

①より、 $\left| \sin x_{1}-\sin x_{2}\right| \leq \left| x_{1}-x_{2}\right|$ ですので、
リプシッツ連続であることがわかります。
リプシッツ連続ならば、一様連続です。

よって、一様連続だとわかります。

※逆は一般に成り立ちません。

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