【複素関数】留数定理と問題練習#01a

ここでは、留数定理を使って問題練習をします。
動画での解説もしますので、よければそちらも見てください。

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【複素関数】留数定理と問題練習#01【1/(2+cosx)】 - ドジソンの本棚

問題
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解き方
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問題

下の問題を解いてみましょう。
$\displaystyle\int ^{\infty }_{-\infty }\frac{dx}{\left( x^{2}+1\right) \left( x^{2}+4\right) }$

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【複素関数】留数定理とその問題練習#2 - YouTube

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解き方

$\displaystyle\int ^{\infty }_{-\infty }\frac{dx}{\left( x^{2}+1\right) \left( x^{2}+4\right) }$ について。

$f\left( z\right) =\dfrac{1}{\left( z^{2}+1\right) \left( z^{2}+4\right) }$
とすると、
上半平面で $z=i,2i$ で1位の極を持ち、
$\begin{aligned}\mathrm{Res}\left( f,i\right) &=\lim _{z\rightarrow i}\dfrac{1}{\left( z+i\right) \left( z^{2}+4\right) }&\\ &=\dfrac{1}{6i}&\end{aligned}$

$\begin{aligned}\mathrm{Res}\left( f,2i\right) &=\lim _{z\rightarrow 2i}\dfrac{1}{\left( z^{2}+1\right) \left( z+2i\right) }&\\ &=\dfrac{-1}{12i}&\end{aligned}$
と留数が求まります。

また、少々雑な書き方ですが $C_{R}$ における積分で
$\displaystyle\left| \int _{C_{R}}\dfrac{dz}{\left( z^{2}+1\right) \left( z^{2}+4\right) }\right| \rightarrow 0\left( R\rightarrow \infty \right)$
となります。なので、最後の計算では無視できます･･･①
※気になる方はしっかり書くようにしましょう。

あとは①に注意して、留数定理を使うだけです。
$\begin{aligned}\displaystyle\int _{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{\left( x^{2}+1\right) \left( x^{2}+4\right) }&=2\pi i\left( \frac{1}{6i}-\frac{1}{12i}\right) &\\ &= \frac{\pi }{6}&\end{aligned}$