【微分方程式】（上級）例題で慣れる同次形の微分方程式

～例題で慣れる同次形の微分方程式～

f:id:Dodgson:20210117223343j:plain

はじめに
例題で慣れる同次形の微分方程式
解説
- ★必見★大学数学の勉強がネットでできます！
おすすめ記事

はじめに

大学数学で困ったことがあったら、このサイト『ドジソンの本棚』！！
大学数学記事一覧はコチラ

この記事では微分方程式の『同次形』を例題を使って練習します。

前回の初級編がまだの方はそちらから見てください。

前回↓

dodgson.hatenablog.com

また、例題は大学で講義の時に練習用で作ったものを使用しています。

できるだけ間違いは無いようにチェックはしましたが、もしありましたら連絡してください。

勉強の際に参考にするのはご自由に。

※間違い、ご指摘などがあれば（https://twitter.com/Dodgson_007）のDMにご連絡ください。お問い合わせフォームからもどうぞ（https://dodgson.hatenablog.com/about）

◎できれば記事の最後まで読んでくれると助かります。

例題で慣れる同次形の微分方程式

① $x^{2}-y^{2}=x y \frac{d y}{d x}$ を解く。

$y=x u$ と置き、変数分離形に持っていく。

そこで、①に代入して、すすめよう。

また、 $\left(\frac{d y}{d x}=x u^{\prime}+u より d y=\left(x u^{\prime}+u\right) d x\right)$ を使うことに注意。

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} x^{2}-x^{2} u^{2}=x^{2} u\left(x u^{\prime}+u\right) \\ \quad \frac{1-u^{2}}{u}=u\left(x u^{\prime}+u\right) \\ \quad \frac{1-u^{2}}{u}=x n^{\prime}+u \\ \frac{1-u^{2}}{u}-\frac{u^{2}}{u}=x u^{\prime} \end{array}\\ \begin{array}{l} \quad \frac{1-2 u^{2}}{4}=x u^{\prime} \\ \frac{1}{x}=\frac{u}{1-2 u^{2}} u^{\prime} \\ \frac{d x}{x}=\frac{u}{1-2 u^{2}} d u \end{array} \end{array}$