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【微分方程式】ベルヌーイの微分方程式の解法を例題で学ぶ

微分方程式数学

～ベルヌーイの微分方程式の解法を例題で学ぶ～

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はじめに
ベルヌーイの微分方程式の解法を例題で学ぶ
まとめ＆感想
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はじめに

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この記事ではベルヌーイの微分方程式を例題を使って練習します。

前回の初級編がまだの方はそちらから見てください。

微分方程式記事まとめ↓

dodgson.hatenablog.com

また、例題は大学で講義の時に練習用で作ったものを使用しています。

できるだけ間違いは無いようにチェックはしましたが、もしありましたら連絡してください。

当然ですが、画像を含め、当サイトの無断転載は厳禁で。

勉強の際に参考にするのはご自由に。

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◎できれば記事の最後まで読んでくれると助かります。

ベルヌーイの微分方程式の解法を例題で学ぶ

ベルヌーイの微分方程式を解いていく。

$y'+p\left( x\right) y=Q\left( x\right) y^{n}$

これを①とする。

$u=y^{1-n}$ とおくと $u'=\left( 1-n\right) y^{-n}y'$

①に $\left( 1-n\right) y^{-n}$ をかけ、

$u$ と $u'$ を代入すると

$u'+\left( 1-n\right) P\left( x\right) u=\left( 1-n\right) Q\left( x\right)$ の形になる。

そこで、だ。例題を作ってみたのでそれを解いてみよう。

例題：

①： $y'-xy=xe^{-x^{2}}y^{2}$

これを解く。

解：

$n=2$ のときであるから、 $y^{-1}=u$ とおくと、

$u'=-y^{-2}y',y'=-u'y^{2}$ なので、

①に $-y^{-2}$ をかけ、

$-y^{-2}\left( y'-xy\right) =xe^{-x^{2}}$

$u$ と $u'$ を代入し、

$-y^{-2}\left( -u'y^{2}-xy\right) =xe^{-x^{2}}$ より

$u'+xu=xe^{-x^{2}}$

これを②とする。

②より

$\dfrac{1}{y}=e^{-x^{2}}+Ce^{-\dfrac{x^{2}}{2}}$

（※途中式は省いた。練習として各自で解き、確認してほしい）

したがって、

$y\left( e^{-x^{2}}+Ce^{-\dfrac{x^{2}}{2}}\right) =1$

おわり。

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dodgson.hatenablog.com

まとめ＆感想

さて、今回はベルヌーイの微分方程式です。

前回の記事で言った通り、 $y^n$ のめんどい形の微分方程式です。

まあぶっちゃけ $u=y^{1-n}$ の置き換え、 $(1-n)y{-n}$ を掛けるなどを覚えていれば苦労しないはず。

ただ使う機会が少ないのでずっと覚えとけというのも難しい話ですがね。

試験前ぐらいに復習するぐらいで十分だと思います。

というわけで今回はここまで。

次回も頑張りましょう。

続きは次の記事にあります。

続きの記事のリンクはこのページの一番下にあります。

最後に、いつもおススメしている参考書、マセマの微分方程式を紹介します。

まだ持っていないなら買っておきましょう。

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