ドジソンの本棚

上の『大学数学』から数学記事検索が簡単にできます

ドジソンの本棚

本サイトはプロモーションを含みます

【微分方程式】簡単!例題(中級)で変数分離形の問題に慣れよう!

~簡単!例題(中級)で変数分離形の問題に慣れよう!~

f:id:Dodgson:20210117223343j:plain

 

はじめに

この記事では微分方程式の『変数分離形』を例題を使って練習します。

前回の初級編がまだの方はそちらから見てください。

前回↓

dodgson.hatenablog.com

 

また、例題は大学で講義の時に練習用で作ったものを使用しています。

できるだけ間違いは無いようにチェックはしましたが、もしありましたら連絡してください。

 

当然ですが、画像を含め、当サイトの無断転載は厳禁で。

勉強の際に参考にするのはご自由に。

※間違い、ご指摘などがあれば(https://twitter.com/Dodgson_007)のDMにご連絡ください。

お問い合わせフォームからもどうぞ(https://dodgson.hatenablog.com/about

 

◎できれば記事の最後まで読んでくれると助かります。

簡単!例題(中級)で変数分離形の問題に慣れよう!

変数分離形の練習です。

例題1

\left( 1+x^{2}\right) \dfrac{dy}{dx}=1+y^{2} ただし、Cは任意定数とする。

解:

まずは変形。

\dfrac{dy}{1+y^{2}}=\dfrac{dx}{1+x^{2}}

これより、

\int \dfrac{dy}{1+y^{2}}=\int \dfrac{dx}{1+x^{2}}+C_{1}

計算して

\tan ^{-1}y=\tan ^{-1}x+C_{1}

よって、スマホの方は右にスクロール)

y=\tan \left( \tan ^{-1}x+C_{1}\right) =\dfrac{\tan \left( \tan ^{-1}x\right) +\tan C_{1}}{1-\tan \left( \tan ^{-1}x\right) \tan C_{1}}=\dfrac{x+C}{1-Cx}

ここらへんは機械的な作業。

できたら次に進もう。

 

例題2

y-4xy'=0

 

解:

まずは場合わけ。

y\neq 0のとき、

\dfrac{y'}{y}-\dfrac{1}{4x}=0

これより

\int \dfrac{dy}{y}-\int \dfrac{dx}{4x}=C_{1}

よって

\log \left| y\right| -\dfrac{1}{4}\log \left| x\right| =C_{1}

したがって

yx^{\dfrac{1}{4}}=Cよりy=Cx^{-\dfrac{1}{4}}

 

またc=0とすると、[y=0]となるので、[y=0]は一般解に含まれる。

 

OK、おわり。

まとめ&感想

前回よりややこしくなりましたね。

得意な人は淡々と作業みたいにこなしてしまうのですが、それもまあ分からなくもないです。

ぶっちゃけここらへんは微積の詰め合わせですからね。

高校生でもできる人はできるでしょう。

 

余談ですが両辺にdxを掛ける方法がNGかOKかという言い争いが昔あったそうです。

ニュートンあたりが関係してた気がしますが(ニュートンはOK派)、詳しいことは覚えてないです、すみません(オイ)。

興味があったらニュートン微積の話でも調べてみるのもいいでしょう。

 

さて、次はもっと難しく上級編をやるので、意欲がある方は次の記事に進んでください。

続きの記事のリンクはこのページの一番下にあります。

最後に、いつもおススメしている参考書、マセマの微分方程式を紹介します。

まだ持っていないなら買っておきましょう。

↑ここからどうぞ。

 

Twitterやってます、フォローお願いします(https://twitter.com/Dodgson_007
・ブログで間違い箇所があれば、TwitterのDMで教えてください。

★おすすめ★大学数学の記事まとめ

dodgson.hatenablog.com

おすすめ記事

次(変数分離形の上級レベル)↓

dodgson.hatenablog.com

前回(変数分離形の初級レベル)↓

dodgson.hatenablog.com