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【複素関数】1のn乗根・『z^n=1,(z=1^(1/n))』の解き方


ここでは、複素関数の『1のn乗根・『z^n=1,(z=1^(1/n))』の解き方』について確認します。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問:z=1^{\frac{1}{n}}

動画解説(YouTube

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解き方:

z \neq 0に注意する。

z=re^{i\theta }とおくと、\left( re^{i\theta }\right) ^{n}=1となることがわかる。

よって、r^{n}e^{in\theta }=1であり、右辺は次のようにできる。

r^{n}e^{in\theta }=1e^{i\cdot 0}

左辺と右辺を比較することで、

r^{n}=1,n\theta =0+2k\pi
ただし、( k= 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots )

が得られる。

よって、

r=1,\theta =\dfrac{2k\pi }{n}
より、
z=\exp \left( i\dfrac{2k\pi }{n}\right) =\cos \dfrac{2k\pi }{n}+i\sin \dfrac{2k\pi }{n}
ただし、( k= 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots )
と求まる。

紹介

大学数学の勉強法を解説しています。期間限定で0円で読めますので、よければ是非。
dodgson.hatenablog.com

おわりに&おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

≫線形代数(初心者向け)
≫線形代数(上級者向け)
≫集合位相
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≫微分方程式
≫関数解析
≫洋書(初心者向け)
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