【複素関数】1のn乗根・『z^n＝1,(z=1^(1/n))』の解き方

ここでは、複素関数の『1のn乗根・『z^n＝1,(z=1^(1/n))』の解き方』について確認します。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問： $z=1^{\frac{1}{n}}$

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$z \neq 0$ に注意する。

$z=re^{i\theta }$ とおくと、 $\left( re^{i\theta }\right) ^{n}=1$ となることがわかる。

よって、 $r^{n}e^{in\theta }=1$ であり、右辺は次のようにできる。

$r^{n}e^{in\theta }=1e^{i\cdot 0}$

左辺と右辺を比較することで、

$r^{n}=1,n\theta =0+2k\pi$
ただし、 $( k= 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots )$

が得られる。

よって、

$r=1,\theta =\dfrac{2k\pi }{n}$
より、
$z=\exp \left( i\dfrac{2k\pi }{n}\right) =\cos \dfrac{2k\pi }{n}+i\sin \dfrac{2k\pi }{n}$
ただし、 $( k= 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots )$
と求まる。

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