【ess sup】本質的上限(essential supremum)とは？わかりやすい例で説明すると

ここでは本質的上限(essential supremum)について説明します。
本などで読んでイマイチ、パッとしない時の確認に使ってください。

測度０の点を除いて上限を取ることを指します。
ess supはessential supremumから取っています。

ルベーグ積分や関数解析などを勉強していると登場します。
微積や大学の学部レベルでは出ないことが多いので、知らない人も多いはず。
ですが、上のとおり、難しくはありません。

次のように、実際の例とグラフのイメージ図を見れば理解できるはずです。

先にグラフを見てください。（マウスで描いているので綺麗でなはいですが）

$x=0$ のときだけ、1.5の値をとっています。

もう少しわかりやすくすると、

$f\left( x\right) =\begin{cases}\sin x:x\neq 0\\ 1.5:x=0\end{cases}$

上のようになっているわけですね。

このとき、
$\begin{aligned}\sup \left| f\left( x\right) \right| =1.5\\ \mathrm{ess}\sup \left| f\left( x\right) \right| =1\end{aligned}$

であることに注意しましょう。

これで本質的上限(essential supremum)については、もう大丈夫だと思います。
あとは実践、ルベーグ積分などで使えるようになるだけです。

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