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【数列の極限】有名な問題練習+解答付き#4(大学数学|解析学)


ここでは、極限の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問題

a_{1}=1,a_{n+1}=\sqrt{1+a_{n}}のとき、
\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}を求めよう。

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解き方

部分点だけでよいのなら、数秒で解く方法がある。それについてはnoteのメンバーシップを見てもらいたい。

さておき、以下が解答となる。
~~~
a_{n+1}=\sqrt{1+a_{n}}より、
\begin{aligned}a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}&=\left( 1+a_{n}\right) -\left( 1+a_{n-1}\right)& \\ &=a_{n}-a_{n-1}&\end{aligned}

ここでa_{n}\geq a_{n-1}であるとすると、
a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}\geq 0すなわち、a_{n+1}^{2}\geq a_{n}^{2}
である。
a_{n} >0なので、a_{n+1}\geq a_{n}となる。

また、
①:a_{2}=\sqrt{1+a_{1}}=\sqrt{2} >1=a_{1}
②:a_{n+1}^{2}=1+a_{n}より、
a_{n+1}=\dfrac{1+a_{n}}{a_{n+1}}\leq \dfrac{1+a_{n+1}}{a_{n+1}}=1+\dfrac{1}{a_{n+1}} <2
∵)a_{1}=1より、a_{n+1} >1であるので、\dfrac{1}{a_{n+1}} <1となるため。

以上、①,②より、上に有界で単調増加数列であることがわかったので、
a_{n}は収束する。

次に、a_{n}\alphaに収束するとすると、
\alpha =\sqrt{1+\alpha }
すなわち、
\alpha ^{2}-\alpha -1=0
とできるため、上について解くと、
\alpha =\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}となる。
しかしながら、a_{n} >0であるので、解は
\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}のみである。

よって、解は\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}である。

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おわりに&おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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