【例題①】重積分の変数変換『sin(x+y)』はどうなるか？（解析学）

はじめに

この記事では『重積分の変数変換『sin(x+y)』』を確認します。

～重積分記事～

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dodgson.hatenablog.com

$\int \int _{D}\sin \left( x+y\right) dxdy$ を計算

$\int \int _{D}\sin \left( x+y\right) dxdy$

ただし、 $D=\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}| x\geq 0,y\geq 0,x+y= \dfrac{\pi }{2}\}$ とする。

これを解いてみよう。

この下に解を載せるので、一旦自分で解いてからでも良し、急いでいるならそのまま見ても良しです。

解： $\int \int _{D}\sin \left( x+y\right) dxdy=?$

変数変換を使う。

$x=\dfrac{u+v}{2},y=\dfrac{n-v}{2}$ とすると、

$D$ は、

$D'=\left\{ \left( u,v\right) \in \mathbb{R} ^{2}| 0\leq u\leq \dfrac{\pi }{2},-u\leq v\leq u\right\}$ に移る。

図で確認すると、

f:id:Dodgson:20210805161043p:plain

こうなる。ここまではOK？

また、 $dxdy=\dfrac{1}{2}dudv$ である。

これは、ヤコビアン $J$ について、

$J=\begin{vmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{-1}{2} \end{vmatrix}=-\dfrac{1}{2}$

より、 $\left| J\right| =\dfrac{1}{2}$ となることから。

以上より、
$\begin{aligned}\iint _{D}\sin \left( x+y\right) dxdy&=\frac{1}{2}\int \int _{D'}\sin ududv&\\ &=\frac{1}{2}\int ^{\dfrac{\pi }{2}}_{0}du\int ^{u}_{-u}\sin udv&\\ &=\frac{1}{2}\int _{0}^{\dfrac{\pi }{2}}2u\sin udu&\\ &=\int ^{\dfrac{\pi }{2}}_{0}u\sin udu&\\ &=1&\end{aligned}$
おわり。
最後、省略したが、簡単な計算なので各自。
※次の記事でも例題で重積分の練習をします。
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$\int \int _{D}\sin \left( x+y\right) dxdy$ を計算

解： $\int \int _{D}\sin \left( x+y\right) dxdy=?$

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