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【集合】逆写像と逆像の違いをはっきりしておく

はじめに

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写像と逆像

似ていますが、違います。
僕も何度か間違えました。
逆像の時に逆写像と言ったり、その逆も。

なので、ここではっきりしておきましょう。

写像とは(定義)

f全単射のとき、任意のy\in Yに対してy=f\left( x\right)を満たすx\in Xが存在し、このxはただ一つである。
故に、yxを対応させることができ(つまりg\left( y\right) =x)、
この写像g:Y\rightarrow Xfの逆写像という。
また、逆写像f^{-1}:Y\rightarrow Xとも表せる。

長いので、恒等写像を用いて、写像f:X\rightarrow Yに対して写像g:Y\rightarrow X
g\circ f=\mathbb{id_{x}}かつf\circ g=\mathbb{id_{y}}となれば逆写像
というのもある。

これで十分だが、しっかり勉強したいなら記事上で紹介した集合の本等を使おう。

逆像とは(定義)

まず像から。
写像f:X\rightarrow YXの部分集合X'に対し、
f\left( X'\right) =\{ y\in Y| \exists x\in X',y= f\left( x\right) \},
又は\left\{ f\left( x\right) | x\in X'\right\}X'の像とよぶ。

このとき、Yの部分集合Y'に対し、
f^{-1}\left( Y'\right) =\left\{ x\in X| f\left( x\right) \in Y\right\}
Y'の逆像という。

※ちなみにy\in Yの逆像をファイバーと呼んだりするが、使う機会はあまりない。

おわりに

集合の勉強はこの本がおすすめ。

数学のまとめ記事があるのでこちらもよければ。
dodgson.hatenablog.com

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