【関数解析｜問題】極限の一意性と弱収束（解｜証明付き）

ここでは弱収束すれば、その極限は唯一つであることを示します。
問→解の順で見ていくので、問の時点で一度解いておくとよいでしょう。

問：
解：
おわりに

問：

$f_{n}$ が弱収束すれば、その極限は唯一つである。

解：

（まずは極限が二つあるとします）
$f_{n}\overset{w}\rightarrow f$
$f_{n}\overset{w}\rightarrow g$
であるとする。（☆）
（このwは弱収束を表します）

$\forall \varepsilon >0\forall h\in H$ に対し、
$\left| \langle f-g,h\rangle \right| =0$ 　･･･①
を示せばよい。

（極限の一意性の証明なので、一度二つにわける操作をするので、お馴染みの $\frac{\varepsilon }{2}$ を使います）
（☆）より、
$\left| \langle f_{n}-f,h\rangle \right| <\dfrac{\varepsilon }{2},\left| \langle f_{n}-g,h\rangle \right| <\dfrac{\varepsilon }{2}$
となるので、

$\begin{aligned} \left| \langle f-g,h\rangle \right| &=| \langle f,h\rangle -\langle f_{n},h\rangle +\langle f_{n},h\rangle -\langle g,h\rangle | &\\ &\leq \left| \langle f-f_{n},h\rangle \right| +\left| \langle f_{n}-g,h\rangle \right|& \\ &<\dfrac{\varepsilon }{2}+\dfrac{\varepsilon }{2}=\varepsilon& \end{aligned}$

よって①がいえたので、 $f=g$
したがって、極限は唯一つである。

おわりに

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dodgson.hatenablog.com

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【関数解析｜問題】極限の一意性と弱収束（解｜証明付き）

問：

解：

おわりに