【関数解析｜問題】内積空間はノルム空間になる（三角不等式の証明）

問→解（証明）の流れで見ていきます。
問のところで一旦解いてから解に進むとよいと思います。

問：
証明：
おわりに

問：

シュワルツの不等式より内積空間の元 $f$ に対して
$\left\| f\right\| =\sqrt{\langle f,f\rangle }$ としたとき
$\left| \langle f,y\rangle \right| \leq \left\| f\right\| \left\| y\right\|$
である･･･①
この $\left\| f\right\|$ について、ノルム空間になるというもの。
今回はこれを示そう。

証明：

半正値性と斉次性は明らかなので、残りの三角不等式（劣加法性）を示す。

$\begin{aligned}\left\| f+g\right\| ^{2}=\langle f+q,f+q\rangle &=\langle f,f\rangle +\langle f,g\rangle+\langle g,f\rangle +\langle g,g\rangle &\\& \leq \left\| f\right\| ^{2}+2\langle f,g\rangle +\left\| g\right\| ^{2}&\\&\overset{①} \leq \left\| f\right\| ^{2}+2\left\| f\right\| \left\| g\right\| +\left\| g\right\| ^{2}&\\ &=\left( \left\| f\right\| +\left\| g\right\| \right) ^{2}&\end{aligned}$

より、三角不等式も求まる。

これでノルム空間になることが言えた。

おわりに

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dodgson.hatenablog.com

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【関数解析｜問題】内積空間はノルム空間になる（三角不等式の証明）

問：

証明：

おわりに