ドジソンの本棚

上の『大学数学』から数学記事検索が簡単にできます

ドジソンの本棚

本サイトはプロモーションを含みます

【関数解析|問題】内積空間はノルム空間になる(三角不等式の証明)

問→解(証明)の流れで見ていきます。
問のところで一旦解いてから解に進むとよいと思います。

問:

シュワルツの不等式より内積空間の元fに対して
\left\| f\right\| =\sqrt{\langle f,f\rangle }としたとき
\left| \langle f,y\rangle \right| \leq \left\| f\right\| \left\| y\right\|
である・・・①
この\left\| f\right\|について、ノルム空間になるというもの。
今回はこれを示そう。

証明:

半正値性と斉次性は明らかなので、残りの三角不等式(劣加法性)を示す。


\begin{aligned}\left\| f+g\right\| ^{2}=\langle f+q,f+q\rangle &=\langle f,f\rangle +\langle f,g\rangle+\langle g,f\rangle +\langle g,g\rangle &\\& \leq \left\| f\right\| ^{2}+2\langle f,g\rangle +\left\| g\right\| ^{2}&\\&\overset{①} \leq \left\| f\right\| ^{2}+2\left\| f\right\| \left\| g\right\| +\left\| g\right\| ^{2}&\\ &=\left( \left\| f\right\| +\left\| g\right\| \right) ^{2}&\end{aligned}
より、三角不等式も求まる。

これでノルム空間になることが言えた。

おわりに

関数解析のまとめに直接飛べるリンク⇩
dodgson.hatenablog.com