【複素関数】1/sinh zの留数を求める（解き方）

ここでは $\dfrac{1}{\sinh z}$ の留数を求めます。
※チェック済みですが、内容に誤りがありましたら、お問い合わせ、またはTwitterまでご連絡ください。

はじめに
解：
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おまけ問題

はじめに

$\dfrac{1}{\sinh z}$ の留数を求めます。
問として、先に解いてから確認するのがおすすめです。

解：

$\dfrac{1}{\sinh z}=\dfrac{2}{e^{z}-e^{-z}}=\dfrac{2e^{z}}{e^{2z}-1}$
ですね。

なので、 $e^{2z}=1$ を満たすのは、 $z=n\pi i$ であり、
一位の極を持ちます。

よって、
$\begin{aligned} \mathrm{Res}\left( \dfrac{1}{\sinh z},n\pi i\right) &=\dfrac{2e^{z}}{2e^{2z}}|_ {z=n\pi i}&\\ &=\dfrac{1}{e^{z}}|_ {z=n\pi i}&\\ &=\left( -1\right) ^{n}&\end{aligned}$

より求まります。

最後（記事下）におまけ問題を載せておきます。
今回の確認などに使ってください。

おまけ問題

$\dfrac{1}{\cos z}$ の留数を求めよう。
※解がシンプルなのに対し、そこまで求めるのが大変です。
解： $\left( -1\right) ^{n+1}$

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【複素関数】1/sinh zの留数を求める（解き方）

はじめに

解：

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