ヘルダー(Hölder)の不等式とミンコウスキ(Minkowski)の不等式へ＆証明のヒント【ルベーグ積分】

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ここではルベーグ積分～関数解析で使うヘルダー(Hölder)の不等式とミンコウスキ(Minkowski)の不等式を紹介します。
と言いつつも、筆者が覚えるために書き残したメモ（記事）のようなものですがね。

詳しく勉強したい方は『関数解析』の本を読んでください。
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リンク

例えば上の本などで。

ヘルダー(Hölder)の不等式

$p >1,\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ のとき、
$f\in L^{p},g\in L^{q}$ に対し、

$\begin{aligned}\left| \int f\left( x\right) g\left( x\right) dx\right| \leq \left\{ \int \left| f\left( x\right) \right| ^{p}dx\right\} ^{\dfrac{1}{p}} \left\{ \int \left| g\left( x\right) \right| ^{q}dx\right\} ^{\dfrac{1}{q}}\end{aligned}$

です。
これがヘルダー(Hölder)の不等式ですね。

この $p=2$ のときはシュワルツの不等式ですね。
ちょうど下の記事でやったところです。
dodgson.hatenablog.com

ミンコウスキ(Minkowski)の不等式

$p\geq 1,f,g\in L^{p}$ に対し、

$\begin{aligned}\left\{ \int \left| f\left( x\right) +g\left( x\right) \right| ^{p}dx\right\} ^{\dfrac{1}{p}}\leq \left\{ \int \left| f\left( x\right) ^{p}\right| dx\right\} ^{\dfrac{1}{p}} \left\{ \int \left| g\left( x\right) \right| ^{p}dx\right\} ^{\dfrac{1}{p}}\end{aligned}$