【大学数学】重積分の問題練習#1（動画解説付き）

ここでは、重積分の問題練習をします。
動画での解説もしますので、よければそちらも見てください。

問題
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解き方
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問題

$\displaystyle\int \int _{D}\left( x^{2}+2y\right) dxdy,\\D:1\leq x\leq 2,x\leq y\leq x^{2}$

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解き方

図でDを確認しましょう。

これをもとに計算します。
$\begin{aligned}&\int \int _{D}\left( x^{2}+2y\right) dxdy&\\&=\int ^{2}_{1}dx\int ^{x^{2}}_{x}\left( x^{2}+2y\right) dy&\\ &=\int ^{2}_{1}\lbrack x^{2}y+y^{2}\rbrack _{x}^{x^{2}}dx&\\ &=\int _{1}^{2}\left( x^{4}-x^{3}\right) dx&\\ &=\lbrack \dfrac{x^{5}}{5}-\dfrac{x^{4}}{4}\rbrack _{1}^{2}=\dfrac{49}{20}&\end{aligned}$