【高校数学】数列の和の公式の証明（2乗の和）

ここでは、数列の和の公式の証明（2乗の和）をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

数列の和（2乗の場合）
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数列の和（2乗の場合）

$\displaystyle\sum ^{n}_{k=1}k^{2}=\dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}$

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証明

$\left( 1+x\right) ^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}$ となることを使います。

そこで、 $x$ に $1,2,\ldots ,n$ を代入すると、
$\begin{aligned}&2^{3}=1+3\cdot 1+3\cdot 1^{2}+1^{3}&\\ &3^{3}=1+3\cdot 2+3\cdot 2^{2}+2^{3}&\\ &︙&\\& \left( n+1\right) ^{3}=1+3\cdot n+3\cdot n^{2}+n^{3}&\end{aligned}$
となります。

これらをまとめて足し合わせると、
$\displaystyle \left( n+1\right) ^{3}=n+3\sum ^{n}_{k=1}k+3\sum ^{n}_{k=1}k^{2}+1^{3}$
より、

$\begin{aligned}3\sum ^{n}_{k=1}k^{2}&=\left( n+1\right) ^{3}-n-1-\dfrac{3}{2}n\left( n+1\right)& \\ &=\dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{2}&\end{aligned}$

となります。

あとは両辺を $3$ で割り、
$\displaystyle\sum ^{n}_{k=1}k^{2}=\dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}$
が得られます。

おわり。

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