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【高校数学】数列の和の公式の証明（3乗の和）と応用

数学


ここでは、数列の和の公式の証明（3乗の和）をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

数列の和（3乗の場合）

\displaystyle\sum ^{n}_{k=1}k^{3}=\left\{ \dfrac{n\left( n+1\right) }{2}\right\} ^{2}

動画解説（YouTube）

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証明

証明の流れについて、基本は前回とほぼ同じです。
まだ、前回を見ていなければそちらから見てください。
≫前回

まず、\left( 1+x\right) ^{4}=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4}であることを使います。
そこで、xに1,2,\ldots ,nを代入し、
それぞれを足し和わせてまとめると、次が得られます。

\displaystyle\left( n+1\right) ^{4}=n+4\sum ^{n}_{k=1}k+6\sum ^{n}_{k=1}k^{2}+4\sum ^{n}_{k=1}k^{3}+1^{4}

上より、さらに次が得られます（3乗のみを取り出す）。

\begin{aligned}4\sum ^{n}_{k=1}k^{3}&=\left( n+1\right) ^{4}-n-4\cdot \dfrac{n\left( n+1\right) }{2}-6\cdot \dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}-1&\\ &=n^{2}\left( n^{2}+1\right)& \end{aligned}

あとは両辺を4で割り、
\displaystyle\sum ^{n}_{k=1}k^{3}=\left\{ \dfrac{n\left( n+1\right) }{2}\right\} ^{2}
が得られます。

応用例

\displaystyle\sum ^{n}_{i=1}k\left( k+1\right) \left( k+2\right) =\dfrac{n\left( n+1\right) \left( n+2\right) \left( n+3\right) }{4}
についても求めてみましょう。
前回と今回の復習になります。

それぞれ数列の和の公式により、
\begin{aligned}\sum ^{n}_{i=1}k\left( k+1\right) \left( k+2\right) &=\sum ^{n}_{i=1}k^{3}+3\sum ^{n}_{i=1}k^{2}+2\sum ^{n}_{i=1}k&\\ &=\dfrac{n^{2}\left( n+1\right) ^{2}}{4}+\dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{2}+n\left( n+1\right)& \\&=\dfrac{n\left( n+1\right) \left( n+2\right) \left( n+3\right) }{4}&\end{aligned}
となります。

試験などでも稀に見る形なので、余裕があれば覚えておきましょう。

おわり。

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