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【関数解析#2】ノルム空間(距離空間)

ノルム空間の定義

線形空間Xに対し、その元をxとし、以下の3条件を満たすとき、\left\| x\right\|xのノルム、Xをノルム空間という。
(1) \left\| x\right\| \geq 0 特に、\left\| x\right\| =0のとき、x=0 (正値性)
(2) \left\| ax\right\| =\left| a\right| \left\| x\right\|
(3) \left\| x+y\right\| \leq \left\| x\right\| +\left\| y\right\|

距離

ノルム空間Xの2点x,yに対し、d\left( x,y\right) =\left\| x-y\right\|とおくとd\left( x,y\right)は次の3条件を満たす。
(1) d\left( x,y\right) \geq 0 特に、d\left( x,y\right) =0のときx=y (正値性)
(2) d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right) (対称性)
(3) d\left( x,y\right) \leq d\left( x,z\right) +d\left( z,y\right)
よってd\left( x,y\right)は『距離』であり、X距離空間である。

したがって、ノルム空間Xに対し、距離空間でいう『球』や『収束』を表すことができる。
【例:球】x\in Xを中心、半径rとすると、
球はS\left( x,r\right) =\{ x'\in X:\left\| x'-x\right\| < r\}と表せる。
(ちなみに、<rが開球、\leq rが閉球である)

【例:収束】点列x_{n}\in X( n= 1,2,\ldots )が点x\in Xに収束するとき、
\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=xであり、これはノルムを用いて\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left\| x_{n}-x\right\| =0とも表せる。
このときxx_{n}の極限といい、極限が存在すればただ一つである。
証明は以下のとおり。


『点列\left\{ x_{n}\right\}が収束するとき、極限はただ一つである』

【証明】
極限が二つ存在したしたとする。
すなわち、x\neq x'とし、
\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x,\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x'ならば、


\forall \varepsilon >0\exists N_{1}\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N} \forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{1}\left( \varepsilon \right) \Rightarrow \left\| x_{n}-x\right\| < \varepsilon ]

\forall \varepsilon >0\exists N_{2}\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N} \forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{2}\left( \varepsilon \right) \Rightarrow \left\| x_{n}-x'\right\| < \varepsilon ]
であり、
\varepsilon =\dfrac{\left\| x-x'\right\| }{2},N\left( \varepsilon \right) =\max \left\{ N_{1}\left( \varepsilon \right) ,N_{2}\left( \varepsilon \right) \right\}とおくと、

\begin{aligned}\left\| x-x'\right\| =\left\| \left( x-x_{n}\right) +\left( x_{n}-x'\right) \right\| \leq \left\| x-x_{n}\right\| +\left\| x_{n}-x\right\| \ <2\varepsilon =2\cdot \dfrac{\left\| x-x'\right\| }{2}\ =\left\| x-x'\right\| \end{aligned}
よって、\left\| x-x'\right\| <\left\| x-x'\right\|となって矛盾。
以上より、極限はただ一つ。

その他、\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x,\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}=yならば、
\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =x+y
\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=xならば、
\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\| =\left\| x\right\|など、\varepsilon -Nを使用し証明できる。
\varepsilon -Nの証明は解析学などでやっているはずなので、ここでは省略する。
不安ならば試しにやってみてもよい。ノルムに置き換えるだけの単純作業となるが。

長くなったので、今回はここまでとする。
次回もノルムの続き。
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