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【微分方程式500問】8,未定係数法と特解(sin&cos)

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今回も未定係数法と特解についてやっていきます。
多項式、sin、cos、指数関数eでそれぞれ分けてします。
前回の記事⇩
dodgson.hatenablog.com


※前回までの記事(全部)はここから見れます⇩
即解決!大学数学まとめ【院試まで使える】 - ドジソンの本棚

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dodgson.hatenablog.com

特解と未定係数法

※詳しくは前回の記事で。
dodgson.hatenablog.com

sin&cosの場合

y'+3y=\sin tについて一般解を求めます。

まずは解解を知りたいので、
y=\alpha \cos t+\beta \sin tと置いてやります。
このとき、y'=-\alpha \sin t+\beta \cos tであるので
これを上の式に代入し、


\begin{aligned}-\alpha \sin t+\beta \cos t+3\left( \alpha \cos t+\beta \sin t\right) =\sin t\end{aligned}
より、
\begin{aligned}-\alpha +3\beta =1\\ \beta +3\alpha =0\end{aligned}
とわかりますので、これを解いて、
\alpha =-\dfrac{1}{10},\beta =\dfrac{3}{10}です。

よって特解は-\dfrac{1}{10}\cos t+\dfrac{3}{10}\sin tです。

したがって一般解は、
-\dfrac{1}{10}\cos t+\dfrac{3}{10}\sin t+ce^{-3t}と求まります。

確認ついでに簡単なものを解いておきましょう。
① y'+2y=-\sin 2t

② y'+y=\sin t+3\cos t

① y=\frac{1}{4}\cos 2t-\frac{1}{4}\sin 2t+ce^{-2t}

② y=\cos t+2\sin t+ce^{-t}

※復習回でsin&cosの問題を追加でする予定。もっと難しめにしたい。

おわりに&次の記事に進む

今回も3問終了、( ..)φメモメモ。

次の記事⇩
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