【複素関数】iのi乗の計算（証明）をわかりやすく解説『i^i』

ここでは、i^i（iのi乗）を計算します。
始めからいきなり答えを見るのではなく、ステップで区切りながら見ていきます。
確認用などにお使いください。

ステップ1
ステップ2
ステップ3
ステップ4
まとめ

ステップ1

$i^{i}=e^{i\log i}$ であることは問題ないはずです。
ちなみに、これが答えではありません。
次は、この『 $\log i$ 』を計算しましょう。

ステップ2

$\log z=\log \left| z\right| +i\arg z$ ですね。
なので、
$\log i=\log \left| i\right| +i\arg i$
となります。

ステップ3

上の $\log \left| i\right|$ は、 $0$ です。
$i\arg i$ は、
$\begin{aligned}i\arg i=i\left( i\left( \dfrac{\pi }{2}+2n\pi \right) \right) \\ =-\left( \dfrac{\pi }{2}+2n\pi \right) \end{aligned}$
となりますね。

ここのところはややこしいですが、図を描いてみればわかるはずです。

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詳しくは≫こちらの解説記事を見てね！

ステップ4

まとめて、

$\begin{aligned}i^{i}=e^{i\log i}=e^{i\left( \log \left| i\right| +i\arg i\right) } =e^{i\left( i\left( \frac{\pi }{2}+2n\pi \right) \right) }=e^{-\left( \frac{\pi }{2}+2n\pi \right) }\end{aligned}$

となります。
これが答えです。

まとめ

できるならば、いきなりステップ４から入ってもよいでしょう。
iのi乗についてはここまでですが、もしよろしければ下記事も見てください。
おすすめの複素関数の本を紹介しています。
dodgson.hatenablog.com

ドジソンの本棚

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【複素関数】iのi乗の計算（証明）をわかりやすく解説『i^i』

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