【関数解析】R-{0}が完備でないことの証明（コーシー列）

ここでは $\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}$ が完備でないことの証明をします。

コーシー列との関係
完備であるかどうか
R-{0}が完備でない
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コーシー列との関係

完備であることの確かめにはコーシー列を使う。

※コーシー列とは（数列）
$\begin{aligned}\forall \varepsilon >0\,\exists N\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N} \,\forall m,n\in \mathbb{N} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left\lbrack m >n\geq N\left( \varepsilon \right) \Rightarrow \left| a_{m}-a_{n}\right| <\varepsilon \right\rbrack \end{aligned}$

復習までにコーシー列には、下の関係がある。
・収束すればコーシー列。

・逆は成り立つとは限らない。
もしも成り立つならば。
コーシー列が収束すれば完備というもの。

完備であるかどうか

完備でないことの証明なので、コーシー列についても丁寧に言い切らなければならない。

これについて、完備であるとは。

$X$ の任意のコーシー列が『絶対に』 $X$ の点に収束しなければならない。

ということである。
下で示してみよう。

R-{0}が完備でない

$\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}$ が完備でないことを示す。

『任意の』であるから、この場合は反例を１つ持ってくれば大丈夫なので、
$\left\{ \dfrac{1}{2^{n}}\right\}$ を使おう。（よく見る例だ。）

$\left\{ \dfrac{1}{2^{n}}\right\}$ はコーシー列なので、これが $\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}$ の点に収束すればよい。

しかしながら、
$\left\{ \dfrac{1}{2^{n}}\right\} \rightarrow 0\left( n\rightarrow \infty \right)$
であり、
$\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}$ に含まれない。

よって、完備ではない。

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