【集合位相】距離空間とは#1（動画説明付き）

位相空間論における距離空間を勉強したいという方向けに解説していきます。第一回目。
動画でも解説しますので、よければ見てください。

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本記事では数式が見づらい、証明が略されているなどがあります。
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集合 $E$ の任意の2点 $x,y$ に対応する実数 $d(x,y)$ が定められ、次の3条件を満たすとする。

（ⅰ） $d\left( x,y\right) \geq 0,\left( x,y\in E\right)$
また、 $d\left( x,y\right) =0\Leftrightarrow x=y$

（ⅱ） $d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right) ,x,y\in E$

（ⅲ）

$d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right) \geq d\left( x,z\right) ,\left( x,y,z\in E\right)$

このとき、 $d(x,y)$ を $x$ と $y$ の距離という。

次に、距離が定められた集合である $E$ と $d$ の組 $(E,d)$ を距離空間という。
これは省略して、距離空間 $E$ とすることもある。

また、 $d$ は距離関数という。

（ⅲ）を三角不等式という。三角不等式により、例えば次を示すことができる。

任意の $x,y,x',y' \in E$ に対して、

$\left| d\left( x,y\right) -d\left( x',y'\right) \right| \leq d\left( x,x'\right) +d\left( y,y'\right)$

証明のヒントを残しておく。
詳しくはnoteにて。

ヒント①：（ⅱ）と（ⅲ）を使う。
ヒント②：

$d\left( x,y\right) -d\left( x',y'\right) \leq d\left( x,x'\right) +d\left( y,y'\right)$

とすることがポイント。しかしこれを示すためには、いくつかステップが必要である。

つづく。※次の記事はこの下にあります。
集合位相のおすすめ参考書→
dodgson.hatenablog.com

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