ドジソンの本棚

上の『大学数学』から数学記事検索が簡単にできます

ドジソンの本棚

本サイトはプロモーションを含みます

【集合位相】距離空間とは#1(動画説明付き)


位相空間論における距離空間を勉強したいという方向けに解説していきます。第一回目。
動画でも解説しますので、よければ見てください。

動画で解説(YouTube

準備中…

※よければチャンネル登録お願いします。

チャンネルはこちら

注意点

本記事では数式が見づらい、証明が略されているなどがあります。
気になる方は、noteのメンバーシップで完全版を投稿しますのでそちらを見てください。
note→準備中

距離空間とは

集合Eの任意の2点x,yに対応する実数d(x,y)が定められ、次の3条件を満たすとする。

(ⅰ) d\left( x,y\right) \geq 0,\left( x,y\in E\right)
また、d\left( x,y\right) =0\Leftrightarrow x=y

(ⅱ) d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right) ,x,y\in E

(ⅲ)

d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right) \geq d\left( x,z\right) ,\left( x,y,z\in E\right)

このとき、d(x,y)xyの距離という。

次に、距離が定められた集合であるEdの組(E,d)距離空間という。
これは省略して、距離空間Eとすることもある。

また、dは距離関数という。

距離空間の性質

(ⅲ)を三角不等式という。三角不等式により、例えば次を示すことができる。

任意のx,y,x',y' \in Eに対して、

\left| d\left( x,y\right) -d\left( x',y'\right) \right| \leq d\left( x,x'\right) +d\left( y,y'\right)

証明のヒント

証明のヒントを残しておく。
詳しくはnoteにて。

ヒント①:(ⅱ)と(ⅲ)を使う。
ヒント②:

d\left( x,y\right) -d\left( x',y'\right) \leq d\left( x,x'\right) +d\left( y,y'\right)
とすることがポイント。しかしこれを示すためには、いくつかステップが必要である。

つづく。※次の記事はこの下にあります。
集合位相のおすすめ参考書→
dodgson.hatenablog.com

次の記事→準備中

紹介

noteでメンバーシップをしています。
ドジソンのメンバーシップ|ドジソン
数学で中心に投稿・活動していますので、よければ参加&支援してください。

おわりに&おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

≫線形代数(初心者向け)
≫線形代数(上級者向け)
≫集合位相
≫複素関数
≫微分方程式
≫確率論
≫関数解析
≫洋書(初心者向け)
≫洋書(上級者向け)
≫LaTeX効率化・おすすめ本

『大学数学記事まとめ』は下から!
dodgson.hatenablog.com