【位相空間】連結と弧状連結とは（中間値の定理まで）

ここでは連結と弧状連結について確認します。
※チェック済みですが、内容に誤りがありましたら、お問い合わせ、またはTwitterまでご連絡ください。

はじめに
連結(connected)とは
弧状連結(path connected)とは
性質
紹介
おすすめ記事
参考文献

はじめに

定義の確認で、連結→弧状連結の順で見ていきます。
ウィキが見にくかったので、確認用として簡単にしてみました。

連結(connected)とは

$X$ を位相空間とし、 $A\neq \emptyset$ , $A\subset X$ とする。

このとき $X$ の開集合 $S,T$ について
$\begin{aligned}A\subset S\cup T,A\cap S\cap T=\emptyset \\ A\cap S\neq\emptyset ,A\cap T\neq\emptyset \end{aligned}$
を満たすものがないとき、この $A$ は連結であるという。

弧状連結(path connected)とは

$\forall x,y\in A$ に対し、連続写像 $f:\left\lbrack 0,1\right\rbrack \rightarrow X$ について
$f\left( 0\right) =x,f\left( 1\right) =y,f\left( \left\lbrack 0,1\right\rbrack \right) \subset A$
を満たすとき、このAは弧状連結であるという。

性質

次の①→②を中間値の定理という。

①：
$X$ は連結

②：

$\begin{aligned}f:x\rightarrow \mathbb{R} \forall s,t\in X\forall c\in \mathbb{R} \exists u\in X \left\lbrack f\left( s\right) \leq c\leq f\left( t\right) \Rightarrow f\left( u\right) =c\right\rbrack \end{aligned}$

証明は参考文献を見てください。
記事下に載せておきます。

紹介

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参考文献

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【位相空間】連結と弧状連結とは（中間値の定理まで）

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