【代数学・群】単位元と逆元の一意性と(a^-1)^-1=aの証明

この記事は『単位元と逆元の一意性と $(a^{-1})^{-1}=a$ 』の証明をしています。

参考文献（といっても証明の確認で使っただけだが一応紹介）

雪江明彦：『代数学1　群論入門』,日本評論社

リンク

（１）単位元の一意性

$e,e^{'}$ を単位元とすると、

( $\because e^{'}$ は単位元, $e$ は単位元)

よって $e=e^{'}$

(2) $a\in G$ に対し、逆元は一つ

$b,b'$ を $a$ の逆元とすると、

f:id:Dodgson:20210802152458p:plain

よって、 $b=b'$

(3) $(a^{-1})^{-1}=a$ ( $a\in G$ のとき)

まず、 $aa^{-1}=a^{-1}a=1$ である。

[a^{-1}]に注目すると、 $a$ が[a^{-1}]の逆元、

すなわち $(a^{-1})^{-1}$ とみなせる。

これより、 $(a^{-1})^{-1}a^{-1}=a^{-1}(a^{-1})^{-1}=1$

逆元の一意性より、

$(a^{-1})^{-1}=a$

以上おわり。

（３）は丁寧に証明してみたが、どうか。

★今回はここまで。この記事の下から次に進めます。勉強したい方はどうぞ。

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