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【代数学・群】単位元と逆元の一意性と(a^-1)^-1=aの証明

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はじめに

この記事は『単位元と逆元の一意性と(a^{-1})^{-1}=a』の証明をしています。

参考文献(といっても証明の確認で使っただけだが一応紹介)

雪江明彦:『代数学1 群論入門』,日本評論社

単位元と逆元の一意性と(a^{-1})^{-1}=aの証明

(1)単位元の一意性

e,e^{'}単位元とすると、

f:id:Dodgson:20210802151636p:plain(\because e^{'}単位元,e単位元)

よってe=e^{'}

 

(2)a\in Gに対し、逆元は一つ

b,b'aの逆元とすると、

f:id:Dodgson:20210802152458p:plain

よって、b=b'

 

(3)(a^{-1})^{-1}=a(a\in Gのとき)

まず、aa^{-1}=a^{-1}a=1である。

[a^{-1}]に注目すると、aが[a^{-1}]の逆元、

すなわち(a^{-1})^{-1}とみなせる。

これより、(a^{-1})^{-1}a^{-1}=a^{-1}(a^{-1})^{-1}=1

逆元の一意性より、

(a^{-1})^{-1}=a

 

以上おわり。

(3)は丁寧に証明してみたが、どうか。

★今回はここまで。この記事の下から次に進めます。勉強したい方はどうぞ。 

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