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【線形代数】複素共役行列と随伴行列の性質【例題付き】

数学線形代数

はじめに
例題（複素共役した行列は？）
複素共役行列として使うもの
随伴行列
随伴行列として使うもの
例題（随伴行列）
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はじめに

ここでは複素共役行列と随伴行列の性質を見ていきます。
複素共役は何たるかは既知として進めます。
※スマホから見ている場合は、長い数式は横にスライドして見ることができます。

例題（複素共役した行列は？）

先に簡単な例題から入る。
行列 $A$ に対して、その複素共役を $\overline{A}$ と表す。

$A=\begin{pmatrix} 1+i & 3-i \\ 2 & 4+i \end{pmatrix}$
このような行列があったとき、 $\overline{A}$ はどうなるだろうか？

簡単なので特に説明はないが、解は以下のとおり。

$A=\begin{pmatrix} 1-i & 3+i \\ 2 & 4-i \end{pmatrix}$

不安なら確認として、 $B=\begin{pmatrix} -1 & -2-i \\ -3 & 4+i \end{pmatrix}$ があったとき、
$A+B$ や、 $A^{T}+\overline{B}$ 、 $i\left( \overline{A}-B\right)$ などを計算してみよう。

複素共役行列として使うもの

$A,B$ は複素行列、 $\lambda$ はスカラーとしたとき次が成立。

$\left( \overline{A+B}\right) =\overline{A}+\overline{B}$

$\left(\overline{ \lambda A}\right) =\overline{\lambda } \ \overline{A}$

$\overline{AB}=\overline{A}\ \overline{B}$

$\overline{\overline{A}}=A$

これら４つはよく使う。
線形代数の本なら大体載っているので各自で確認。
転置と違ってそのままなので特に面白みはない。

随伴行列

複素行列 $A$ に対し、次の $A^{\ast }$ を（ $A$ の）随伴行列という。
$A^{\ast }=\overline{A}^{T}$
※転置し、複素共役している。

随伴行列として使うもの

転置であることに気を付ければそこまでだが、
確認のため、よく使うものを４つ挙げておく。

$\left( A+B\right) ^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast }$

$\left( \overline{\lambda A}\right) ^{\ast }=\overline{\lambda }A^{\ast }$

$\left( AB\right) ^{\ast }=B^{\ast }A^{\ast }$
これと次は転置によるもの。

$\left( A^{\ast }\right) ^{\ast }=A$

例題（随伴行列）

確認用として例題を用意した。
しかしながら単に和や積などはできると思うので、
ここでは次回以降の記事で扱う、エルミート行列を使ってみる。

簡単な確認として、エルミート行列とは
$A^{\ast }=A$ を満たす行列 $A$ のことである。

そこで、 $AA^{\ast }$ はエルミート行列か？
問と解答はエルミート行列の記事で再掲するが、おそらくすぐにできると思う。

続く（→線形代数の記事）
上の問いの解答のリンクは、この記事の下の『おすすめ記事』に載せています。
あわせて見てください。

線形代数参考書

初学者向け⇩
dodgson.hatenablog.com

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数学記事まとめです。ここで勉強できます。
この記事の続きの記事のリンクもここ。
dodgson.hatenablog.com
例題の解⇩
dodgson.hatenablog.com