【複素解析】（難）コーシー列で複素積分を使う例と証明

【複素解析】コーシー列で複素積分を使う例

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はじめに

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コーシー列で複素積分を使う例

コーシー列で複素積分を使う例として、次の事実を示していきたい。

※領域についてなど省略している箇所もあるので念のため注意。

$f$ は正則で $f'$ を有界であるとする。

このとき、

$z_{m}$ がコーシー列なら、 $f\left( z_{m}\right)$ もコーシー列である。

下で証明する。

証明

領域内の2点 $z_{m},z_{n}$ とその2点間の曲線 $C$ に対し、

$\int _{c}f'\left( z\right) dz=\int ^{z_{m}}_{z_{n}}f'\left( z\right) dz=f\left( z_{m}\right) -f\left( z_{n}\right)$

…①とする。

ここで、 $f'$ が有界より $\left| f'\left( z\right) \right| \leq M$ であり、

複素積分の性質より、

$\left| \int _{c}f'\left( z\right) dz\right| \leq \int _{c}\left| f'\left( z\right) \right| \left| dz\right| \leq M\int _{c}\left| dz\right| =M\left| z_{m}-z_{n}\right|$

↑スマホの場合、横にスクロールして見れます。

①に絶対値をとり左に戻っていくと

$\left| f\left( z_{m}\right) -f\left( z_{n}\right) \right| \leq \left| \int _{c}f'\left( z\right) dz\right| \leq M\left| z_{m}-z_{n}\right|$

であることがわかる。

あとは、 $\forall \varepsilon >0$ に対し、

$z_{m}$ がコーシー列より

$\left| z_{m}-z_{n}\right|< \dfrac{\varepsilon }{M}$ とすると、

$\left| f\left( z_{m}\right) -f\left( z_{n}\right) \right|< \varepsilon$ が得られる。

よって、 $f\left( z_{m}\right)$ もコーシー列。

おわり。

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