【複素解析】除去可能特異点と積分で使う分だけ解説

除去可能特異点と積分で使う分だけ解説

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はじめに

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この記事では『除去可能特異点』を確認します。

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除去可能特異点

除去可能特異点について確認したいところだが、Wikiに先を越されてしまった。

ショック…

そこで、詳しい解説はそちらに任せて、実際に積分で使う分だけ確認する。

留数定理のときなどで役立つので覚えておこう。

除去可能特異点を使う積分の例

例として、

$\dfrac{\sin z}{z}$

$\dfrac{e^{iz}-1}{z\left( z^{2}+4\right) }$

などがある。

両方、 $z=0$ で除去可能特異点となる。

なので、

$\dfrac{e^{iz}-1}{z\left( z^{2}+4\right) }$

これを解いていくなら、極は $z=\pm 2i$ の1位のものだけとしていけばよい。

試しに

$\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{e^{ix}-1}{x\left( x^{2}+4\right) }dx$

これをやってみると、

$\dfrac{e^{i\cdot 2i}-1}{2i\cdot \left( 2i+2i\right) }=\dfrac{e^{-2}-1}{-8}=\dfrac{1-e^{-2}}{8}$ なので、

$\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{e^{ix}-1}{x\left( x^{2}+4\right) }dx=\begin{aligned}2\pi i \mathrm{Res}\left( 2i\right) =2\pi i\cdot \dfrac{1-e^{-2}}{8}\ =\dfrac{\pi i}{4}\left( 1-e^{-2}\right) \end{aligned}$

↑スマホの場合、横にスクロールして解が見れます。