フーリエ級数展開【例題#1】『xの場合』

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フーリエ級数展開#1

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ を次のように $Def$ する。
$f\left( x\right) =\begin{cases}x\left( -\pi ＜x\leq 0\right) \\ 0\left( 0 ＜x ＜\pi \right) \end{cases}$
このとき、 $f(x)$ のフーリエ級数展開をする。
$f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum ^{\infty }_{k=1}\left( a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx\right)$ とできるので、
あとは $a_{0},a_{k},b_{k}$ を求めればよい。
（※第1項を $a_{0}$ とするものもあるが、 $\dfrac{a_{0}}{2}$ とした方が都合がよい。）
また、 $a_{k},b_{k}$ は、
$a_{k}=\displaystyle\dfrac{1}{\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }f\left( x\right) \cos kxdx$
$b_{k}=\displaystyle\dfrac{1}{\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }f\left( x\right) \sin kxdx$
で求められる。
（※この証明はFANBOXの方でする。ここでは省略）

① $a_{0}$ を求める

f:id:Dodgson:20211107222219p:plain

② $a_{k}$ を求める

f:id:Dodgson:20211108110636p:plain

③ $b_{k}$ を求める。

f:id:Dodgson:20211108001509p:plain

①②③より

$f\left( x\right) =\dfrac{\pi }{4}+\displaystyle\sum ^{\infty }_{k=1}\left( \dfrac{1-\left( -1\right) ^{k}}{k^{2}\pi }\cos kx+\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k}\sin kx\right)$
と求まる。

おわり。次もフーリエ級数展開の練習#2をやるので、勉強したい方はそちらもどうぞ。
ついでに、 $\left| x\right|$ のフーリエ級数展開をFANBOXの方でPDFで配布する。今回の復習用だ。

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フーリエ級数展開#1

① $a_{0}$ を求める

② $a_{k}$ を求める

③ $b_{k}$ を求める。

①②③より

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フーリエ級数展開#1

①を求める

②を求める

③を求める。

①②③より

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① $a_{0}$ を求める

② $a_{k}$ を求める

③ $b_{k}$ を求める。