【位相空間】内部と閉包とは？証明＆例題付きで説明

内部と閉包の準備

内部と閉包とは何かをする前に必要なものを先に確認する。
以下では、 $X$ を位相空間とし、 $A$ を $X$ の部分集合とする。
また、 $x$ を $X$ の点とする。

内点

$x$ に対し $\varepsilon >0$ が存在し $U\left( x,\varepsilon \right) \subset A$ となれば（つまり $A$ が $x$ の $\varepsilon$ -近傍を含めば）、 $x$ を $A$ の内点という。

触点

任意の $\varepsilon >0$ に対し $U\left( x,\varepsilon \right) \cap A\neq \emptyset$ となる $x$ を $A$ の触点という。

内部とは

$A$ の内点全体の集合を $A^{\circ }$ とし、これを $A$ の内部という。（※ $A^{\circ }$ は $\mathrm{Int} A$ とも書く。）
$A^{\circ }$ は、 $A^{\circ }=\left\{ x\in A| xはAの内点\right\}$ とも表せる。

閉包とは

$A$ の触点全体の集合を $\overline{A}$ とし、これを $A$ の閉包という。
$\overline{A}$ は、 $\overline{A}=\{ x\in X| xはAの触点\}$ とも表せる。

内部と閉包の関係

$A^{\circ }\subset A\subset \overline{A}$
となる。

ここで、 $A^{\circ }$ と $\overline{A}$ は次の①②が成立する。
① $A^{\circ }$ は $A$ に含まれる最大の開集合。 $A$ が開集合であるための必要十分は $A^{\circ }＝A$ となることである。
② $\overline{A}$ は $A$ を含む最小の閉集合。 $A$ が閉集合であるための必要十分は $\overline{A}=A$ となることである。
②の証明は各位相参考書に任せる。

①の必要十分の簡単な証明としては、
$( \Leftarrow$ は $A^{\circ }$ が開集合より。
$( \Rightarrow$ は、 $U\subset A$ を任意の開集合とすれば $U$ の点は全て $A$ の内点になるので $U\subset A^{\circ }$
よって、 $A\subset A^{\circ }$
$A^{\circ }\subset A$ であったので、両方の包含関係が言えたので、結果、等しい。

例題

確認のために
(1),(2),(3)を示してみよう
ただし $X$ は位相空間、 $A$ は $X$ の部分集合。
(1) $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$
(2) $\overline{\phi }=\phi$
(3) $A^{\circ }=X\backslash \overline{X\backslash A}$

参考文献

森田茂之,『集合と位相空間』,朝倉書店 (2002/6/10)

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