【複素関数】留数定理の問題練習＆解答付き

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１問目
解
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$\displaystyle\int _{c}\frac{1}{z^{2}+4iz-5}dz$

ただし、
$c=\{ z:\left| z\right| =3,\mathrm{Re}\,z\geq 0\}$

とする。

解

$\displaystyle\int _{c}\frac{1}{z^{2}+4i-5}dz\\\displaystyle=\int _{c}\frac{dz}{\left( z-\left( -2i+1\right) \right) \left( z-\left( -2i-1\right) \right) }$

留数は

$\begin{aligned}\mathrm{Res}\left( f: -2i+1\right) &=\lim _{z\rightarrow 1-2i}\left( z-\left( -2i+1\right) \right) f\left( z\right)& \\ &=2&\end{aligned}$

よって、
$I=2\pi i\cdot 2=4\pi i$

と求まる。

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