はじめに
※2022/05/01加筆
この記事では『一次独立（線形独立）をランク（階数）から調べる方法』を確認します。
一次独立（線形独立）をランク（階数）から判定
タイトルにある通り、一次独立（線形独立）をランク（階数）から判定する方法を考えていこう。
一次独立かどうか、調べるのは他にもあるが、ランクでやるのが一番早い（簡単）と思っている（筆者は）。
★行列が正方行列なら行列式で判定する方法もあるが、限定的なので（行列式に）頼り切りになるのはお勧めしない。
例えば、
この場合、行列式は使えない。
さて。
普通、一次独立を調べるのはの形、
もっと言えばより
と初めはやるだろうが、これは時間が掛かる、という話だ。
そこで、ランクを使おう。
まず、問題で本のベクトルが与えられる。
このとき、
一次独立なら行列の基本変形でとなればいい。
そう。たったこれだけだ。
もし、なら、一次従属（線形従属）ということ。
判定だけしたいならこれで終わり。
（※上の★の特殊な例は、行列が
次正方行列なら、
ならば
という事実より（逆も成立））
この段階で満足ならいいが、当然納得いかないだろうから「何故それでいいのか」を次で説明していくことにする。
しかしながら、次元、核や像
の知識が必要となることを注意されたし。
（※時間があったらそれら（次元、核、像）の記事も書いて、以下に記事のリンクを貼る。それまでお待ちを。）
それでは詳しく説明していこう。
何故か
上で、一次独立はであることに触れた。
そしてこの時、である。
ここまでは容易に分かるはずだ。
分からないなら『次元、核、像』を復習するとよい。
そこで
次元の公式には次のようなものがあった。
写像で、
…①
ここで、一次独立の時、
条件より、
①は…①’
となるのが分かるだろう。
そして、
にあたることを使う。
すると①’は、
…①’’となることが導かれた。
以上。
これで①’’の形に持ってこれたことになる。
だからランクで判定すれば一次独立か分かるということ。
おわり。
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