ここでは密着位相が距離付け可能とならないことの証明をします。
説明上、少し省く部分もありますので、各自で証明を完成させてください。
距離位相と距離付け可能について
まずは距離位相の話からです。先に確認しましょう。
距離位相はの位相がその距離関数により、
となれば、をにより導かれる距離位相という。
でした。
追加で、このときの位相空間を距離付け可能というのでしたね。
ここらへんは集合位相の本に載っているはずです。
密着位相
を任意の空でない集合とする。
※後の証明のため、の元は2つ以上あるとします。
このとき、とすると、
これは位相の条件を満たします(の位相構造となる)。
なので、このを密着位相と言います。
※後の証明のため、の元は2つ以上あるとします。
このとき、とすると、
これは位相の条件を満たします(の位相構造となる)。
なので、このを密着位相と言います。
ちなみにそれらの組を密着位相と言います。
証明のヒント(距離付け可能でない)
ヒントとありますが、ほぼ答えのようなものです。
どうしてもわからないなら、繋ぎ合わせていけばいいだけです。
証明(簡略版)
距離付け可能でないことを示すので、背理法を使います。
つまり、距離付け可能として矛盾を導きます。
距離付け可能ならば、上で確認した通り、
とできます。
ここで、を取り、
に対して、であるとき、
となります。
しかし、上の近傍はを含まないため、
となり、矛盾。
これで証明が言えました。足りないと思う所は各自で付け足してください。