密着位相が距離付け可能とならないことの証明（位相空間）

ここでは密着位相が距離付け可能とならないことの証明をします。
説明上、少し省く部分もありますので、各自で証明を完成させてください。

距離位相と距離付け可能について
密着位相
証明のヒント（距離付け可能でない）
おわりに

距離位相と距離付け可能について

まずは距離位相の話からです。先に確認しましょう。

距離位相は $X$ の位相 $\mathcal{S}$ がその距離関数 $d$ により、

$\mathcal{S}=\mathcal{S}(d)$

となれば、 $\mathcal{S}$ を $d$ により導かれる距離位相という。

でした。
追加で、このときの位相空間 $(X,\mathcal{S})$ を距離付け可能というのでしたね。

ここらへんは集合位相の本に載っているはずです。

密着位相

$X$ を任意の空でない集合とする。
※後の証明のため、 $X$ の元は２つ以上あるとします。
このとき、 $\mathcal{S}_0 =\{X,\emptyset\}$ とすると、
これは位相の条件を満たします（ $X$ の位相構造となる）。
なので、この $\mathcal{S}_0$ を密着位相と言います。

ちなみにそれらの組 $(X,\mathcal{S}_0)$ を密着位相と言います。

証明のヒント（距離付け可能でない）

ヒントとありますが、ほぼ答えのようなものです。
どうしてもわからないなら、繋ぎ合わせていけばいいだけです。

証明（簡略版）
距離付け可能でないことを示すので、背理法を使います。
つまり、距離付け可能として矛盾を導きます。

距離付け可能ならば、上で確認した通り、
$\mathcal{S}_0 =\mathcal{S}(d)$ とできます。

ここで、 $\forall x_{1},x_{2}\in X( x_{1}\neq x_{2})$ を取り、
$\forall \varepsilon >0$ に対して、 $\varepsilon ＜d\left( x_{1},x_{2}\right)$ であるとき、
$U \left( x_{1};\varepsilon \right) \in S_{0}$ となります。