【確率論】エテマディ(Etemadi)の不等式と証明のヒント

ここではエテマディの不等式を紹介します（面白そうだったので）。
マニアックな内容なので、確率論を専門として勉強している人ぐらいしか見ないかもしれませんが。

エテマディの不等式って？
証明のヒント
参考文献など

エテマディの不等式って？

独立な確率変数 $X_{i}$ , $( i= 1,2,\ldots ,n)$ に対して、 $\alpha \geq 0$ とし、
部分和を $S_{k}=\sum ^{k}_{i=1}X_{i}$ , $( k= 1,2,\ldots ,n)$ とするとき、次の不等式が成立します。

$\displaystyle P( \max _{1\leq k\leq n}\left| S_{k}\right| \geq 3\alpha ) \leq 3\max _{1\leq k\leq n}P( \left| S_{k}\right| \geq \alpha )$

証明のヒント

左辺から

$\begin{aligned}P\left( \left| S_{n}\right| \geq \alpha \right) +\max _{1\leq k\leq n}\{ P\left( \left| S_{n}\right| \geq \alpha \right) + P\left( \left| S_{k}\right| \geq \alpha \right) \} \end{aligned}$

をゴールにして進めばよさそうです。

長いので証明は省きます。

参考文献など

『確率解析とファイナンス』,岩城秀樹,共立出版 (2008/6/20)とEtemadi's inequality - Wikipediaを参考にしました。
証明は『確率解析とファイナンス』の方に載っているのでそちらで見てください。
下にリンクを用意しますが、確率解析を勉強するならおすすめです。

リンク

ドジソンの本棚

上の『大学数学』から数学記事検索が簡単にできます

【確率論】エテマディ(Etemadi)の不等式と証明のヒント

エテマディの不等式って？

証明のヒント

参考文献など