【線形代数】行列（文字入り）の階数（ランク）の求め方を例題で学ぶ

はじめに

この記事では『行列（文字入り）の階数（ランク）の求め方』を例題で練習します。

行列（文字入り）の階数（ランク）の求め方を例題で学ぶ

以下で例題を二つ解いてみる。
解答付きですが、見る前に自分でも解いてみよう。

問１

問： $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x^{2} \end{pmatrix}$ の階数（ランク）を求めよう。

問１の解

④－①、③－①、②－①より、 $A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x^{2}-1 \end{pmatrix}$

これより、 $\begin{aligned}rankA&=1\left( x=1のとき\right) \\ rankA&=3\left( x=-1のとき\right) \\ rankA&=4\left( x=\pm 1のとき\right) \end{aligned}$

問２

問： $B=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 & 4 & 9 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 & y & 3 \end{pmatrix}$ の階数（ランク）を求めよう。

問２の解

スマホの方は右にスクロールして見よう。

$\begin{aligned}B\rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & x-2 & 0 & y-1 & 0 \end{pmatrix}\\ \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & x+y-3 & 0 \end{pmatrix}\end{aligned}\begin{aligned}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x+y-3 & 0 \end{pmatrix}\\ \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x+y-3 & 0 \end{pmatrix}\end{aligned}$

変形がどうなっているかの確認は読者に任せる。
以上より。
$\begin{cases}rankB&=3\left( x+y-3\neq 0\right) \\ rankB&=2\left( x+y-3=0\right) \end{cases}$

＝　まとめ＆感想　＝

両方そこまで難しくない。むしろその後に続く問題が大変になってくるだろう。

追加で練習したいなら、上の結果から、ランクが１の時、 $A^2$ がどうなるか求めてみよう。

続き（線形代数まとめ）は記事の一番下にあるので、やる気がある方はよかったら。

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