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【複素関数】留数定理と問題練習#01【1/(2+cosx)】


ここでは、留数定理を使って問題練習をします。
動画での解説もしますので、よければそちらも見てください。

問題

下の問題を解いてみましょう。
\displaystyle\int _{0}^{2\pi }\frac{dx}{2+\cos x}

動画解説(YouTube

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解き方

留数定理を使います。
そのためにいくつか準備をしましょう。

z=e^{ix}とおくと、
dz=ie^{ix}dxより、\dfrac{dz}{iz}=dxであることがわかります。

また、2+\cos xについて、
2+\cos x=2+\dfrac{z+z^{-1}}{2}です。

よって、上の確認により、
\displaystyle\int ^{2\pi }_{0}\frac{dx}{2+\cos x}=\frac{2}{i}\int _{\left| z\right| =1}\frac{dz}{z^{2}+4z+1}
とできます。

ここで、
f\left( z\right) =\dfrac{1}{z^{2}+4z+1}とおくと、
f\left( z\right) =\dfrac{1}{\left( z+2-\sqrt{3}\right) \left( z+2+\sqrt{3}\right) }
より、
\left| z\right| <1内にて、z_{0}=-2+\sqrt{3}で1位の極をもち、
\begin{aligned}\mathrm{Res}\left( f,z_{0}\right) &=\lim _{z\rightarrow z_{0}}\dfrac{1}{z+2+\sqrt{3}}&\\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{3}}&\end{aligned}
と、留数が求まります。

あとは留数定理を使うだけです。
\begin{aligned}\displaystyle\int _{0}^{2\pi }\frac{dx}{2+\cos x}&=\frac{2}{i}\cdot 2\pi i\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}&\\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}\pi &\end{aligned}

おわり。動画ではもう少し詳しく解説していますので、そちらも参考にしてください。

次→
【複素関数】留数定理と問題練習#02 - ドジソンの本棚

おわりに&おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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