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【微分方程式500問】4,初期値問題（非斉次系）（問題付き）

数学微分方程式

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◇◆◇

前回の記事の続き。
dodgson.hatenablog.com
上の記事を見てもらってからの方がよいだろう。
また上の記事を理解するには1,2を読む必要がある。
時間があるなら見ておこう。

★おすすめ記事★
dodgson.hatenablog.com

初期値問題（非斉次系）

早速問を解いていきたいところだが、せっかくなので1問先に解いてみる。

下の①は前回の記事で解いた問題（続き）だ。
①　 $y'-2y=\sin t$ 　ただし、 $y\left( 0\right) =1$ とする。

解：
一般解は $\displaystyle y=\left( \int f\left( t\right) e^{at}dt+c\right) e^{-at}$ なので、
①のとき $\displaystyle y=\left( \int \sin t e^{-2t}dt+c\right) e^{2t}$ である。

先に、 $\displaystyle \int \sin t\,e^{-2t}dt$ を求める。

$\displaystyle\begin{aligned}I=\int \sin te^{-2t}dt=-\cos te^{-2t}-2\int \cos te^{-2t}dt\\ =-\cos te^{-2t}-2\left( \sin te^{-2t}+2\int \sin te^{-2t}dt\right) \end{aligned}$

なので、
$5I=-\cos te^{-2t}-2\sin e^{-2t}$
より、
$I=-\dfrac{2\sin t+\cos t}{5}e^{-2t}$

したがって、
$y=-\dfrac{2\sin t+\cos t}{5}+ce^{2t}$

初期条件は $y\left( 0\right) =1$ なので、
$c=\dfrac{6}{5}$ とわかる。

以上より解は、
$y=-\dfrac{2\sin t+\cos t}{5}+\dfrac{6}{5}e^{2t}$

この調子で、あと3問解いてみよう。

問

②　 $y'+2y=1$ 　 $y\left( 0\right) =-1$

③　 $y'+2y=\cos t$ 　 $y\left( 0\right) =0$

④　 $y'-2y=e^{2t}$ 　 $y\left( 1\right) =0$

解

②　 $y=-\dfrac{3}{2}e^{-2t}+\dfrac{1}{2}$

③　 $y=-\dfrac{2}{5}e^{-2t}+\dfrac{\sin t+2\cos t}{5}$

④　 $y=-e^{2t}+te^{2t}$

おわりに＆次の記事に進む

今回も4問終了、( ..)φメモメモ。

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