【集合位相】集合論の基礎#3(差集合と冪集合＆性質と証明)

ここでは、集合論の基礎確認をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

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差集合
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冪集合
- 性質
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差集合

差集合とは、ある集合から別の集合を取り除いたもので、以下のように表されます。

$A\backslash B=\{x ∣ x∈A, x\notin B\}$

例えば、集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{2, 4\}$ に対して、 $A\setminus B$ を求めると、

$A\backslash B=\{1,3,5\}$
となります。

性質

性質１
差集合において、 $(A\setminus B)\setminus C = A\setminus (B\cup C)$ が成立します。

証明（略型）：※丁寧な証明は各自で。
$(A\setminus B)\setminus C = \{x\ |\ x\in A,\ x\notin B,\ x\notin C\}$
$A\setminus (B\cup C) = \{x\ |\ x\in A,\ x\notin B,\ x\notin C\}$

よって、 $(A\setminus B)\setminus C = A\setminus (B\cup C)$

性質２
差集合において、 $A\setminus B = A\cap B^C$ が成立します。

証明（略型）：※丁寧な証明は各自で。
$A\setminus B = \{x\ |\ x\in A,\ x\notin B\}$

$A\cap B^C = \{x\ |\ x\in A,\ x\in B^C\} = \{x\ |\ x\in A,\ x\notin B\}$

よって、 $A\setminus B = A\cap B^C$

冪集合

冪集合とは、ある集合のすべての部分集合を集めたもので、以下のように表されます。

集合 $A$ が与えられたとき、 $A$ のすべての部分集合からなる集合
$\mathcal{P}(A)=\{B ∣ B\subset A\}$
上を $A$ の冪集合と言います。
つまり、集合 $A$ の冪集合は、 $A$ の空集合や自身を含むすべての部分集合を要素として持つ集合です。

例えば、集合 $A = \{1, 2\}$ に対して、 $\mathcal{P}(A)$ を求めると、

$\mathcal{P}(A)=\{∅,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
となります。

性質

空集合と自身を含むため、ある集合 $A$ の冪集合の要素数は $2^{|A|}$ 個とな
ります。

証明：
集合 $A$ の部分集合のうち、各要素を含めるか含めないかの 2 通りがあります。
したがって、 $A$ の要素数を $n$ とすると、 $A$ の冪集合の要素数は $2^n$ 個となります。

【例で確認】
集合 $A = \{1, 2, 3\}$ に対して、 $\mathcal{P}(A)$ の要素は下のとおりです。

$\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}$

この場合、 $2^3=8$ 個あることがわかります。

確認問題

$\mathcal{P}\left( \emptyset\right) ,\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( \emptyset \right) \right) ,\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( \emptyset \right) \right) \right)$ を求めましょう。

解：
$\mathcal{P}\left( \emptyset\right)=\{ \emptyset\}$
$\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( \emptyset \right) \right) =\{ \emptyset , \{ \emptyset\}\}$
$\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( \emptyset \right) \right) \right)=\{ \emptyset ,\{ \emptyset\},\{\{ \emptyset\}\},\{ \emptyset , \{ \emptyset\}\}\}$

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