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【大学数学】集合の族におけるド・モルガンの法則の証明

はじめに

この記事は『ド・モルガンの法則』の証明をしています。

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参考文献

吉田伸生:『ルベーグ積分入門ー使うための理論と演習』,遊星社

 

集合の族におけるド・モルガンの法則の証明

\displaystyle\left( \bigcap _{\lambda \varepsilon \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c}

これを示す。

証明は下に載せるので先に自分でやってみよう。

見るだけの人はそのまま進んでください。

 

\displaystyle x\in\left( \bigcap _{\lambda \varepsilon \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}をとる。

\displaystyle x\notin \bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }であり、

これは、

f:id:Dodgson:20210802143237p:plainの否定である。

よって

f:id:Dodgson:20210802143340p:plainとなるので、

x\in \bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c}

したがって、\displaystyle\left( \bigcap _{\lambda \varepsilon \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}\subset\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c}

次にx\in\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c}をとる。

このとき、f:id:Dodgson:20210802144346p:plain

となるので、\displaystyle x\notin \bigcup _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow x\in \left( \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}

よって\displaystyle\left( \bigcap _{\lambda \varepsilon \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}\supset\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c}

以上より、\displaystyle\left( \bigcap _{\lambda \varepsilon \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c}

おわり。

別例:\displaystyle\left( \bigcup _{\lambda \varepsilon \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}= \bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c}

 

まとめ

途中、逆も同様で省略してもいいが、ここでは両方の包含関係を示した。

これを参考にした人は練習として別例の証明をやってみよう。

簡単にできるはずです。

もし苦戦するなら上で紹介した集合と位相の本で練習すべし。

また、参考文献では解析入門を勧めていたので余力があるならそちらで練習するのもいいでしょう。

 


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