ドジソンの本棚

上の『大学数学』から数学記事検索が簡単にできます

本サイトはプロモーションを含みます

【微分方程式500問】1,定数係数一階線形常微分方程式（問題付き）

数学微分方程式

◇◆◇
『微分方程式500問まとめ』は下から見ることができます。
飛ばして好きなところから見たい場合は使ってください。
即解決！大学数学まとめ【院試まで使える】 - ドジソンの本棚
◇◆◇

今回から微分方程式の問題をガンガン解いていきます。
勉強し終わったものの、あれ？覚えてない…となったので復習の意味で記事を書いていくわけです。
もちろん、これから勉強するよという方にもおすすめ。

※SEO対策無視していくので（※多分、検索結果に載らない）、この記事を見つけられたらラッキーです。
★おすすめ記事★
dodgson.hatenablog.com

定数係数一階線形常微分方程式

一番初めにするところですね。
一般解などで $e$ が出てきたときに「は？どこから来たんや……」と疑問だと思うのでサクッと解決しましょう。

例えば、下の式。
$y'+ay=0$

これの一般解は
$y=ce^{-at}$ （cは任意定数）
です。

何故こうなるのか下で見ていきます。

一般解について

$e^{at}$ からやっていく方が正しい道なのですが、
理解するためにも、一般解から逆に見ていくことにします。

まず、
$y=ce^{-at}$ （cは任意定数）
より、
$e^{at}y=c$
です。

次に両辺を微分します。
すると、
$\left( e^{at}y\right) '=0$ 　･･･①
ですね。

ここで
$y=e^{at}$ と見たとき、①は
$e^{at}y'+ae^{at}y=0$
となります。

あとは $e^{at}$ で割ると
$y'+ay=0$
このように元の式が現れます。

以上より、一般解は確かに $y=ce^{-at}$ でした。
証明したいならこの逆をしていけばいいです。

次に問で練習します。

問

一般解を覚えるために、しつこいくらいに問を用意。
秒で解いていきましょう。

①　 $y'+y=0$

②　 $y'-2y=0$

③　 $y'+3y=0$

④　 $y'-4y=0$

⑤　 $y'+\frac{1}{2}y=0$

⑥　 $y'-\frac{1}{4}y=0$

解

①　 $y=ce^{-t}$

②　 $y=ce^{2t}$

③　 $y=ce^{-3t}$

④　 $y=ce^{4t}$

⑤　 $y=ce^{-\frac{1}{2}t}$

⑥　 $y=ce^{\frac{1}{4}t}$

おわりに＆次の記事に進む

6問終了、( ..)φメモメモ。

次の記事⇩
dodgson.hatenablog.com

おすすめ記事⇩

数学記事まとめです⇩

dodgson.hatenablog.com

一度は読んでおきたい、おすすめ記事⇩
dodgson.hatenablog.com