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【微分方程式500問】2,初期値問題《定数係数一階線形常微分方程式》（問題付き）

数学微分方程式

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前回の記事の続きです⇩
dodgson.hatenablog.com
今回は初期値問題をやっていきます。

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初期値問題

いや知ってるよといわれそうですが、
式が与えられて
$y\left( 0\right) =1$
このときの初期値問題を解こうっていうやつですね。

前回の一般解は
$y=ce^{-at}$
でしたけど、
初期値問題となると少し変わってきます。
$0$ のときを考えるなら楽なのですが、そうでないときは困るはず。

なので、初期値問題の時の解を載せておきます。

$y'+ay=0,y\left( \alpha \right) =\beta$
のとき、
解は
$y=\beta e^{-a\left( t-\alpha \right) }$
です。

何故こうなるのかも説明しておくと。

一般解 $y=ce^{-at}$ で、これは $e^{at}y=c$ です。
$t=\alpha ,y=\beta$ とすると、 $e^{a\alpha }\beta =c$ です。※初期条件を満たす特解を使う
あとは一般解の $c$ にねじ込めば、
$e^{a\alpha }\beta e^{-at}=y$ で、
確かに解は $y=\beta e^{-a\left( t-\alpha \right) }$ となることがわかります。

下で例題を一つ解いてみます。

例題

① $y'+ay=0,y\left( \alpha \right) =\beta$ で　 $a=1,\alpha =0,\beta =1$ のとき

解：
$y=e^{-t}$
です。

当てはめるだけなので苦でないですね。
この調子であと5問解いてみましょう。

問

サクサク解いていきましょう。
目標としては、一問5秒以内にはできたいところ。

①　 $y'+y=0,y\left( 0\right) =-1$

②　 $y'+2y=0,y\left( 0\right) =1$

③　 $y'-3y=0,y\left( 1\right) =0$

④　 $y'+4y=0,y\left( -2\right) =2$

⑤　 $y'-7y=0,y\left( 3\right) =\frac{1}{2}$

解

①　 $y=-e^{-t}$

②　 $y=e^{-2t}$

③　 $y=0$

④　 $y=2e^{-4(t+2)}$

⑤　 $y=\frac{1}{2}e^{7(t-3)}$

おわりに＆次の記事に進む

今回も6問終了、( ..)φメモメモ。
問題多いから間違いがないかチェックしないとね。

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